終了しない

私はこれらの質問について考えてきました：

/cs/65003/if-%CE%BB-xxx-has-a-type-then-is-the-type-system-inconsistent

型付けされていない設定では、関連する質問に答えるのが難しいものがすでにあります！より具体的には、次の方法で非終端からチューリング完全性を回復できるかどうか知りたいです。

質問：（純粋）指定された $\lambda$ -term $t$ でない弱いヘッド正規形、そこず常に不動点コンビネータ存在する $Y_t$ ように
$Y_{t} (λ x . x) = t$ $Y_t\ (\lambda x.x) = t$

等式は、すべての剰余取らされています $\beta\eta$ 。

私は実際に質問すべきこのバージョンの疑い偽 1がに質問を緩和することができるので、コンビネータをループループコンビネータ、 $Y$ すべてのためのように用語と定義され $f$ ここでもループコンビネータである必要があります。もちろん、これは通常どおり再帰関数を定義するのに十分です。

Y f = f (Y^{'} f)

$Y\ f=f\ (Y'\ f)$

Y^{'}

$Y'$

より一般的には、上記の式が満たされない場合でも、非終端 $t$ からループコンビネータに進む「自然な」方法を見つけることに興味があります。

私はまた、上記の質問の弱いバージョンに興味がある、例えばアプリケーションであると解釈することができるそれぞれに正規形で（私は本当に役立つことはよく分からないが）。 $t$ $t\equiv t_1\ t_2\ldots t_n$ $t_i$

これまでのところ、自然なアプローチは、例えばと "pepper"アプリケーションを全体に適用することです。例えば $t$ $f$

Ω := (λ x . x x) (λ x . x x)

$\Omega:=(\lambda x.x\ x)(\lambda x.x\ x)$

いつもになる

Y_{Ω} := λ f . (λ x . f (x x)) (λ x . f (x x))

$Y_\Omega:= \lambda f.(\lambda x. f\ (x\ x))\ (\lambda x.f\ (x\ x))$

アイデアが頭の削減にあるラムダアプリケーションにとに置き換える、しかし次のステップは不明確です（そして、これが何につながる可能性があるのか私は懐疑的です）。 $t$ $\lambda x. t'$ $\lambda x.f\ t'$

私は確かに、私は彼らが言うには何を持っているかどうかを確認するためにベームの木について十分に理解してないんだけど、以来、私は非常に、それを疑うのベームツリーは単純であるのためのような何も見えなかった、：無限の木抽象化。 $\Omega$ $\bot$ $Y_\Omega$

編集：私の友人は、この単純なアプローチは、用語と仕事をしないことに注意：単純なアプローチは与えるだろうしかし、これがない不動点コンビネータ！これは、第二のアプリケーション置き換えることによって固定することができるすることによって

(λ x . x x x) (λ x . x x x)

$(\lambda x.x\ x\ x)(\lambda x.x\ x\ x)$

(λ x . f (x x x)) (λ x . f (x x x))

$(\lambda x.f\ (x\ x\ x))(\lambda x.f\ (x\ x\ x))$

f

$f$

、その後

、元の用語を与えるものではありません。ただし、この用語が元の質問に対する反例であるかどうかは明らかではありません（より一般的な質問に対する反例ではありません）。

λ y z . f y

$\lambda y z.f\ y$

f \mapsto I

$f\mapsto \mathrm{I}$

lambda-calculus combinatory-logic

— コーディ
ソース

tに頭部の標準形がないという要件を強化して、弱い頭部の標準形も除外する必要があると思います。tがラムダを生成できる場合、先頭位置には常に固定小数点コンビネータ（f = idで始まる）があるため、ラムダはそれによって生成されるはずです。これは不可能です。

— アンドレアアスペルティ

@AndreaAspertiあなたは正しいです、もちろん。質問を修正します。

— コディ

このとてもいい質問にはいくつかの側面があるので、それに応じてこの答えを構成します。 $\newcommand{\setof}[1]{\{#1\}}$ $\newcommand{\thra}{\twoheadrightarrow}$ $\newcommand{\codeof}[1]{\lceil #1 \rceil}$

1.箱入りの質問に対する答えはnoです。用語あなたの友人によって提案は確かに反例です。 $\Omega_3 = (\lambda x.xxx)(\lambda x.xxx)$

これは、以前の1が「鬼」のような反例持っていることをコメントで注目された質問が弱いヘッド正規形なし用語に制限されるまで、。そのような用語はゼロ用語として知られています。これらは、どんな置換でもラムダに決して減少しない用語です。 $K^\infty=Y K$

任意の固定小数点コンビネータ（fpc）、は、いわゆるミュート（別名「ルートアクティブ」）用語です。そのすべてのリダクトは、さらに還元されます。 $Y$ $Y I$

ミュートではありません。どちらもしないで縮約のセットを検査することによって明らかであるように $K^\infty$ $\Omega_3$ $-$

{Ω_{3} \underset{k}{\underset{⏟}{(λ x . x x x) \dots (λ x . x x x)}} ∣ k \in N}

$\setof{\Omega_3 \underbrace{(\lambda x. xxx) \cdots (\lambda x. xxx)}_k \mid k \in \mathbb{N}}$

むしろ、なぜ正確な引数を与えるよりも、 FPCをすべてミュートである（任意のループコンビネータのために、実際に）面倒まだうまくいけば明らか十分とすることができる私はミュート条件に制限するだけでなく、あなたの質問の明白な一般化を扱います。 $Y I$ $Y$ $-$ $-$

ミュート用語は、解決不可能な用語のサブクラスであるゼロ用語のサブクラスです。これらはおそらく、それぞれ微妙なBerarducci、Levy-Longo、およびB \ "ohmツリーに対応する、ラムダ計算における「意味のない」または「未定義」の概念の最も人気のある選択肢です。ポーラ・セヴェリとフェル・ジャン・ド・フリースによって詳細に分析された[1]ミュート用語は、この格子の最下の要素、すなわち「未定義」の最も制限的な概念を構成します。

2. ミュート項、をというプロパティを持つループコンビネータとします。 $M$ $Y$ $YI = M$

最初に、新鮮な変数、実際に還元を「に振りかける」ことによって得られる、説明した非常に似ていると主張します。 $z$ $Yz$ $Y_M$ $z$ $M$

Church-Rosserにより、とには共通の縮約ます。標準還元ください。すべての部分項の独特の部分項に相当するこの還元下。任意の部分項のための、ような要因 $YI$ $M$ $M'$ $R : YI \thra_s M'$ $M'$ $YI\equiv Yz[z:=I]$ $C[N]=M'$ $R$ 中脚が弱いヘッド減少であり、（最終的な脚が内部にあります）。は、この2番目のレッグが一部のredex縮小し、が置換子孫である場合、によって「保護」されます。 $YI \thra C[N_0] \thra_{wh} C[N_1] \thra_i C[N]$ $N$ $z$ $I P$ $I$ $[z:=I]$

明らかに、はいくつかのサブタームを保護する必要があります。そうしないと、同様にミュートになります。一方、非終端に必要なサブタームを保護しないように注意する必要があります。そうしないと、ループコンビネータの無限のBオームツリーを開発できません。 $Y$ $M$

したがって、変数をそのサブタームの前に置くと正規化タームが得られるという意味で、非正規化にはすべてのリダクトのすべてのサブタームが必要なミュートタームを見つけることで十分です。

考えてみましょう、。これはに似ていますが、繰り返しのたびに、引数の位置でのの出現がヘッド変数によって「ブロック」されていないことを確認します。サブタームの前にを置くと、最終的に形状標準形が生成されます。 $\Psi = W W$ $W = \lambda w. w I w w$ $\Omega$ $W$ $z$ 。各は、、またはこれらの「散水」のいずれかです。だから、 $zP_1\cdots P_k$ $P_i$ $I$ $W$ $z$ $\Psi$ 一般化された質問に対する反例です。

定理。ようなループコンビネータはありません。 $Y$ $YI = \Psi$

証明。のすべての還元の集合は $\Psi$ です。で変換可能にするには、をこれらのいずれかに減らす必要があります。引数はすべての場合で同一です。具体性のために、と仮定。 $\setof{WW,WIWW,IIIIWW,IIIWW,IIWW,IWW}$ $\Psi$ $YI$ $YI \thra IIWW$

任意の標準的な還元因数分解することができるような $YI \thra_s IIWW$

\begin{aligned} Y I ↠_{w} P N_{4}, P ↠_{w} Q N_{3}, Q ↠_{w} N_{1} N_{2}, thus Y I ↠_{w} N_{1} N_{2} N_{3} N_{4} \\ N_{1} ↠ 私 、 N_{2} ↠ 私 、 N_{3} ↠ W 、 N_{4} ↠ W \end{aligned}

$\begin{align*} YI \thra_w P N_4, P \thra_w Q N_3, Q \thra_w N_1 N_2, \text{thus } YI \thra_w N_1 N_2 N_3 N_4\\ N_1 \thra I, N_2 \thra I, N_3 \thra W, N_4 \thra W \end{align*}$

私たちは削減を参照してみましょうとして、から出発削減として。 $YI \thra_w N_1 N_2 N_3 N_4$ $R_0$ $N_i$ $R_i$

これらの減少は、置換上に持ち上げることができる歩留まりへその結果、組成物である $[z:=I]$

\begin{aligned} R_{0}^{z} : Y z ↠ z^{k} (M_{1} M_{2} M_{3} M_{4}) \\ N_{i} \equiv M_{i} [z := I] \end{aligned}

$\begin{align*} R^z_0 : Yz \thra z^k(M_1 M_2 M_3 M_4)\\ N_i \equiv M_i[z:=I] \end{align*}$

R_{0}

$R_0$

。

Y I \overset{R_{0}^{z} [z := I]}{↠} I^{k} (N_{1} \dots N_{4}) ↠_{w}^{k} N_{1} \dots N_{4}

$YI \stackrel{R^z_0[z:=I]}{\thra} I^k(N_1 \cdots N_4) \thra^k_w N_1 \cdots N_4$

$R_i : N_i \thra N \in \setof{I,W}$

\begin{aligned} R_{i}^{z} : M_{i} ↠ N_{i}^{z} \\ R_{i} : N_{i} \overset{R_{i}^{z} [z := I]}{↠} N_{i}^{z} [z := I] ↠_{I} N \end{aligned}

$\begin{align*} R^z_i : M_i \thra N^z_i\\ R_i : N_i \stackrel{R^z_i[z:=I]}{\thra} N^z_i[z:=I] \thra_I N \end{align*}$

$R_i$ $I$ $N^z_i[z:=I]$ $N$ $N^z_i$

$N^z_i$ $z$ $N$ $z$ $N$ $N \in \setof{I,W}$ $N^z_i$

\begin{aligned} z^{k_{1}} (λ x . z^{k_{2}} (x)) \\ z^{k_{1}} (λ w . z^{k_{2}} (z^{k_{3}} (z^{k_{5}} (z^{k_{7}} (w) z^{k_{8}} (λ x . z^{k_{9}} (x))) z^{k_{6}} (w)) z^{k_{4}} (w))) \end{aligned}

$\begin{align*} &z^{k_1}(\lambda x. z^{k_2}(x))\\ &z^{k_1}(\lambda w. z^{k_2}( z^{k_3}( z^{k_5}( z^{k_7}(w) z^{k_8}(\lambda x. z^{k_9}(x)) ) z^{k_6}(w) ) z^{k_4}(w) )) \end{align*}$

$M_1 M_2 M_3 M_4 \thra N^z_1 N^z_2 N^z_3 N^z_4$ $N^z_i$ $z$ $I$ $i =1,2$ $W$ $i=3,4$

$N^z_1 N^z_2 N^z_3 N^z_4$ $z(z(z(\cdots)))$ $z^{k_j}$ $N^z_i$

$N^z_i$ $i \le 4$ $k_j$ $j \le 2+7\lfloor \frac{i-1}{2} \rfloor$

$W$ $IIWW$ $W^z = \lambda w. z(wIww)$

I I W W^{z} \to I W W^{z} \to W W^{z} \to W^{z} I W^{z} W^{z} \to z (I I I I) W^{z} W^{z} ↠ z I W^{z} W^{z}

$IIWW^z \to I W W^z \to WW^z \to W^z I W^z W^z \to z (I I I I) W^z W^z \thra z I W^z W^z$

$\Omega$

$z$ $M$ $N = \lambda z. M_z$ $N I = M$

$Y I = M$ $Y$ $M$ $z$ $M \mapsto Y_M$ $M$ $Y_M$ $M$

Y ⌈ M ⌉ z = {\begin{cases} z (Y ⌈ P [x := Q] ⌉ z) & M \equiv (λ x . P) Q \\ Y ⌈ N ⌉ z & M is not a redex and M \to_{w h} N \end{cases}

$Y \codeof{M} z = \begin{cases} z (Y \codeof{P[x:=Q]} z) &M\equiv (\lambda x.P)Q\\ Y \codeof{N} z &M \text{ is not a redex and }M \to_{wh} N \end{cases}$

[1] Severi P.、de Vries FJ。（2011）無限ラムダ計算における無意味集合の格子の分解。In：Beklemishev LD、de Queiroz R.（eds）ロジック、言語、情報、および計算。WoLLIC2011。コンピュータサイエンスの講義ノート、vol 6642。

[2]リチャード・スタットマン。ハイパーリカレントS、Kコンビネーターはありません。1991年、ペンシルバニア州ピッツバーグ、カーネギーメロン大学数学部研究報告書91–133

— アンドリュー・ポロンスキー
ソース

Y

$Y$

Y I = Ω_{3}

$Y\ I=\Omega_3$

いい視点ね。答えを更新しました。

— アンドリューポロンスキー