一貫性がありチューリング完全な型付きラムダ計算がありますか？

カリー-ハワード対応下の対応するロジックが一貫しており、すべての計算可能な関数に型指定可能なラムダ式がある型付きラムダ計算がありますか？

これは明らかに「不正確な質問」であり、「型付きラムダ計算」の正確な定義が欠けています。私は基本的に、（a）これの既知の例があるのか、（b）この領域の何かに対する既知の不可能性の証拠があるのか疑問に思っています。

編集：@codyは、以下の回答でこの質問の正確なバージョンを提供します：一貫性があり、チューリング完全な（以下に定義する意味で）論理的純粋型システム（LPTS）はありますか？

— モーガン・トーマス
ソース

証明可能な合計再帰関数がすべて再帰関数である再帰的公理可能な計算（ラムダまたはそれ以外）はないため、計算には終了しない用語を含める必要があります。

— エミールイェジャベクはモニカをサポートします

この答えは、あなたが持つことができないと言うの定理がある任意のチューリング完全の両方で微積分の並べ替えと合計を。

— アンドレイバウアー

十分に正確にすると、質問に回答する可能性があります。Andrejの証明は不必要に複雑であると思います（しかし、それ以上のことを示しています）：ポイントは、すべての再帰関数が、表現が再帰関数（たとえば、システムに正しく入力されていることを確認することによって）を行うと、不可能な普遍的な合計再帰関数を取得できます。

— エミールイェジャベクはモニカをサポートします

もちろん、この種の質問に対する古典的な答えは次のようになります：交差の型を持つ

λ

$\lambda$ -calculusを入力します。しかし、微積分が「カリー・ハワードの解釈」を認めているかどうかを問うのは、哲学的な質問です。

— cody

質問が正確ではないため、ここでより正確にすることは困難です。

— アンドレイバウアー

回答:

申し分なく申し上げます。一般に、与えられた型システムについて、次のことが当てはまります。 $T$

場合結石内のすべてのウェル型の用語正規化され、次いで、ある一貫したロジックとして見たとき。 $T$ $T$

証明は一般に、型項があると仮定し、サブジェクトリダクションを使用して標準形を取得し、そのような項の構造について帰納法で矛盾を取得します。 $\mathrm{absurd}$ $\mathrm{False}$

逆が成り立つかどうか疑問に思うことは自然です、すなわち

任意のタイプのシステムのために場合、である論理的一貫性は、内のすべてのウェル型付けされた用語正規です。 $T$ $T$ $T$

これに関する問題は、「型システム」の実際の最も一般的な概念がなく、そのようなシステムの論理的一貫性の意味についての同意がさらに少ないことです。ただし、経験的に検証することができます

以下のために最も知られているタイプのシステムの論理的な解釈を持って、逆は確かに保持しません。

これはチューリング完全性とどのように結びついていますか？1つは、型チェックがdecidableである場合、Andrejの引数は、次のいずれかが成立する必要があることを示しています。

すべての適切に型付けされたプログラムのセットは、チューリング完全ではありません。
終了しない適切に型付けされたプログラムがあります。

これは、次のことを示唆する傾向があります。

論理的な解釈があり、一貫性があり、再帰的に列挙可能な型システムは、チューリング完全ではありません。

提案ではなく実際の定理を与えるには、型システムと論理的解釈の概念を数学的に正確にする必要があります。

今、2つの発言が思い浮かびます：

論理式解釈を持ち、すべての正規化項を表すことができる、決定不能な型システム、交差型システムがあります。ご指摘のとおり、これはチューリング完了とはまったく異なります。合計関数の型を目的の引数に適用する前に更新する必要があるためです（実際には洗練されています）。計算は、「カレースタイル」微積分で、STLC +に等しい $\lambda$ および
$\frac{Γ ⊢ M : τ Γ ⊢ M : σ}{Γ ⊢ M : τ \cap σ}$ $\frac{\Gamma\vdash M:\tau\quad \Gamma\vdash M:\sigma}{\Gamma\vdash M:\tau\cap\sigma}$ それが「解釈」することは明らかである一貫した論理的な解釈につながります。 $\frac{Γ ⊢ M : τ \cap σ}{Γ ⊢ M : τ} \frac{Γ ⊢ M : τ \cap σ}{Γ ⊢ M : σ}$ $\frac{\Gamma\vdash M:\tau\cap\sigma}{\Gamma\vdash M:\tau}\quad \frac{\Gamma\vdash M:\tau\cap\sigma}{\Gamma\vdash M:\sigma}$ $\cap=\wedge$
タイプシステムのクラスであるPure Type Systemsがあり、そのような質問を正確に行うことができます。ただし、このフレームワークでは、論理的な解釈はあまり明確ではありません。「PTSには無人のタイプがある場合、一貫性があります」と言いたくなるかもしれません。しかし、型は異なる「ユニバース」に存在する可能性があるため、これは機能しません。 CoquandとHerbelinはLogical Pure Type Systemsの概念を定義しており、そこでは質問が理にかなっており、

一貫性のない、依存関係のないすべてのLPTSにはループコンビネーターがあります（チューリング完了も同様です）

どちらの方向（矛盾に質問に答えるこの場合、TC）。私の知る限り、一般的なLPTSの問題は未解決であり、非常に困難です。 $\Rightarrow$

編集： Coquand-Herbelinの結果の逆は、思ったほど簡単ではありません！これが私がこれまでに思いついたものです。

論理純粋型システムは、（少なくとも）ソートとPTSであるおよび、（少なくとも）公理と（少なくとも）ルール、種類種類がないというさらなる要件がある。 $\mathrm{Prop}$ $\mathrm{Type}$ $\mathrm{Prop}:\mathrm{Type}$ $(\mathrm{Prop},\mathrm{Prop},\mathrm{Prop})$ $\mathrm{Prop}$

今私はチューリング完全性の特定の文を仮定するつもりです：LPTS修正してみましょう文脈も $L$ $\Gamma$

Γ = n a t : P r o p, 0 : n a t, S : n a t \to n a t

$\Gamma = \mathrm{nat}:\mathrm{Prop},\ 0:\mathrm{nat},\ S:\mathrm{nat}\rightarrow \mathrm{nat}$

れるチューリング完全毎に合計計算機能のためにIFFをタームあるよう、すべてのための $L$ $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ $t_f$

Γ ⊢ t_{f} : n a t \to n a t

$\Gamma \vdash t_f : \mathrm{nat}\rightarrow \mathrm{nat}$

n \in N

$n\in\mathbb{N}$

t_{f} (S^{n} 0) \to_{β}^{*} S^{f (n)} 0

$t_f\ (S^n\ 0)\rightarrow^*_{\beta} S^{f(n)}\ 0$

Andrejの対角化引数は、タイプ非終端があることを示しています。 $t$ $\mathrm{nat}$

今、私たちはそこに半分いるようです！非終端期間を考えると、我々はの出現交換したいいくつかの一般的なタイプでとを取り除くとで、そして私たちは私たちの矛盾を持っています（生息していますコンテキスト）！ $\Gamma \vdash \mathrm{loop}:\mathrm{nat}$ $\mathrm{nat}$ $A$ $0$ $S$ $\Gamma$ $A$ $A:\mathrm{Prop}$

残念なことに、をIDで置き換えるのは簡単ですが、を取り除くのははるかに難しいため、ここで行き詰まります。理想的には、いくつかのKleene再帰定理を使用したいと思いますが、私はまだこれを理解していません。 $S$ $0$

— コーディ
ソース

それでは、発言に関する最初の2つの説明（1）。この交差タイプのシステムは再帰的に列挙可能ではないと言うとき、どういう意味ですか？確かに、システムの定理のセットはreです。なぜなら、あなたはそれを簡単なシーケント計算として与えたからです。また、リンクした論文で証明された結果は、システムで入力可能な用語が厳密に正規化された用語であるということです。しかし、それは計算可能な関数全体を正確に入力できるということと違いはありませんか？例えば、ではありません

強く正規化されていますが、合計ではありませんか？

λ x . x x

$\lambda x. xx$

— モーガントーマス

次に、発言について質問します（2）。あなたが引用する定理は、私たちが興味を持っているものではないように思えます。すべての非依存LPTSについて、それが矛盾していればチューリング完全であると言います。しかし、すべてのLPTSについて、チューリングが完了している場合は一貫していないかどうかを知りたいと思います。ここで何か誤解していますか？

— モーガントーマス

@MorganThomas：ああ、あなたが最初の点について正しいです：私が言うことを意味するタイプのシステムができないことで決定可能与えられた、あること、

、声明

決定不能です。投稿でこれを修正します。

Γ, t, A

$\Gamma, t, A$

Γ ⊢ t : A

$\Gamma\vdash t:A$

— コーディ

2番目の点：また、型指定された非合計関数を使用できることも正しいです（ただし、特定の引数に必ずしも適用する必要はありません）。答えを修正します。

— コディ

第三のポイント。あなたは再び正しいです！ただし、その逆（LPTSの特別な場合）はささいなことです。引数の概要を説明します。

— コディ

ここに私の質問に対する@codyの正確さのバリエーションに対する答えがあります。追加の公理と縮小規則の導入を許可する場合、ほぼ@codyの意味でチューリング完全な一貫したLPTSがあります。したがって、厳密に言えば、システムはLPTSではありません。それはただのようなものです。 $\beta$

構造の計算（または、キューブのお気に入りのメンバー）を考えてください。これはLPTSですが、LPTSではないものを追加します。定数記号選択し、公理を追加します。 $\lambda$ $\text{nat}, 0, S$

⊢ nat : *

$\vdash \text{nat} : \ast$

⊢ 0 : nat

$\vdash 0 : \text{nat}$

⊢ S : nat \to nat

$\vdash S : \text{nat} \to \text{nat}$

インデックス自然数によって、チューリングマシンプログラム、および各自然数のために、一定の記号選択公理を追加し、、およびすべてのため、追加 -reductionルールを $e$ $f_e$ $f_e : \text{nat} \to \text{nat}$ $e,x \in \mathbb{N}$ $\beta$

f_{e} (x) \to_{β} Φ_{e} (x),

$f_e(x) \to_\beta \Phi_e(x),$

ここで、通常通りの出力であるにチューリングマシンプログラム番目。もしが発散し、このルールは何もしません。これらの公理と規則を追加することにより、システムの定理は再帰的に列挙可能であることに注意してください。ただし、削減規則のセットはもはや決定可能ではなく、単に再帰的に列挙可能です。システムの構文とルールで計算モデルの詳細を明示的に記述することで、削減ルールのセットを簡単に決定できるように保つことができると思います。 $\Phi_e(x)$ $e$ $x$ $\Phi_e(x)$ $\beta$ $\beta$

さて、この理論は明らかにブルートフォースによって、ほぼ@codyの意味でチューリング完全です。しかし、主張は一貫しているということです。そのモデルを構築しましょう。

してみましょう三組は、そのようなことになります。 $U_1 \in U_2 \in U_3$

（後継機能です）。 $\emptyset, \mathbb{N}, 0, S \in U_1$ $S$
各セットは推移的です。もし、そして。 $a \in b \in U_i$ $a \in U_i$
各セットは、関数空間の形成の下で閉じられます。すなわち、もし、そして。 $A, B \in U_i$ $B^A \in U_i$
各セットは、依存製品の形成の下で閉じられます。すなわち、もしと、その後、。 $A \in U_i$ $f : A \to U_i$ $\prod_{a \in A} f(a) \in U_i$

このようなセットの存在は、たとえば、ZFCに加えて、すべての枢機inalがアクセスできない枢機inalによって境界付けられているという公理に基づいています。各集合をグロタンディーク宇宙とすることができます。 $U_i$

「解釈」を、変数名のセットから要素へのマッピングとして定義します。解釈与えられると、システムの用語の解釈を明白な方法で定義できます。 $v$ $U_2$ $v$ $I_v$

、の場合は変数名。 $I_v(x) = v(x)$ $x$
$I_v(\ast) = U_1, I_v(\Box) = U_2$
$I_v(\text{nat}) = \mathbb{N}, I_v(0) = 0, I_v(S) = S$
$I_v(f_e) = \Phi_e$ $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ $e$
$I_v(AB) = I_v(A)(I_v(B))$ $I_v(A)$ $I_v(B)$ $I_v(AB) = 0$
$I_v(\lambda x : A. B)$ $a \in I_v(A)$ $I_{v[x:=a]}(B)$
$I_v(\Pi x : A. B) = \prod_{a \in I_v(A)} I_{v[x:=a]}(B)$

$A$ $I_v(A) \in U_3$ $v$ $A : B$ $v \models A : B$ $I_v(A) \in I_v(B)$ $\Gamma \models A : B$ $v$ $v \models x : C$ $(x : C) \in \Gamma$ $v \models A : B$

$\Gamma \vdash A : B$ $\Gamma \models A : B$ $x,y$ $y : \ast \models x : y$ $y$ $\emptyset$

$\beta$

— モーガン・トーマス
ソース

これはいい答えですが、一貫性を証明するためにこれらすべての体操を行う必要があるかどうかはわかりません：タイプの用語

A

$A$ 空のコンテキストでは、CoCの用語に「脱糖」することができます。

f_{e} (x) \to Φ_{e} (x)

$f_e(x)\rightarrow \Phi_e(x)$ ルール $\iota$ -ルールとキープ

β

$\beta$ 通常のもののために。すべて実行する

β

$\beta$ -reductions（定数のみを追加したため終了します）、およびフォームのすべての用語を置き換えます

f_{e} (x)

$f_e(x)$ それがあるならばその還元によって。ここでのアイデアは

ι

$\iota$ -ルールは地上条件でのみ動作するため、すべてを実行できます

β

$\beta$ -邪魔にならないように最初に削減。

— コディ

I think you're right. This is not my field, so I'm a bit clumsy doing things. :-) I think your proof works, and one interesting consequence, if I'm right, is that this theory doesn't have very much consistency strength. It looks like a potentially very powerful theory, since it has types and natural numbers, which should let you interpret set theory; but apparently you can't, because you can prove it consistent without using powerful set theory!

— Morgan Thomas