準指数的に解けるハードグラフ問題

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Arora、Barak、およびSteurerの最近の結果、ユニークゲームおよび関連問題のサブ指数アルゴリズムの観点から、サブ指数時間アルゴリズムはあるが多項式的に解けるとは思われないグラフ問題に興味があります。有名な例は、ランタイムの部分指数アルゴリズムを持つグラフ同型です。別の例は、準多項式時間（）で解くことができる対数クリーク問題です。 $2^{O(n^{1/2} \log n)}$ $n^{O(\log n)}$

私は興味深い例を探して、できれば準指数ハードグラフ問題の調査への参照を探しています（必ずしも完全ではありません）。また、はありますか $NP$ $NP$ サブ指数時間アルゴリズムに完全グラフ問題はありますか？

Impagliazzo、Paturiとゼーンは指数時間仮説がクリーク、K-着色性、頂点カバーが必要であることを意味することを示した $2^{\Omega(n)}$ 時間。

cc.complexity-theory reference-request

— モハマドアルトルコキスタニー
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完全を期すために：log-CLIQUE =

{(G, k) | G has n vertices, k = \log n and G has a clique of size k}

$\{(G, k) | G \text{ has }n\text{ vertices, }k = \log n\text{ and }G\text{ has a clique of size }k\}$

— MS Dousti

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道の最大クリーク問題により、完全に一般に、時間内に解くことができるここで、は入力のサイズです。 $2^{\tilde O(\sqrt N)}$ $N$

グラフが隣接行列を介して表される場合、、およびブルートフォース検索には時間がかかります。 $N=|V|^2$ $2^{O(|V|)}$

グラフは、時間ランニングのアルゴリズムによって、隣接リストで表現されている場合しかし、私たちは同じバウンドさえを得ることができます。、のは取得してみましょうどのように表示するには $2^{\tilde O(\sqrt{|V| + |E|})}$ -timeアルゴリズム我々はグラフ与えられたNP完全決定問題のためのと、我々はサイズのクリークがあるかどうかを知りたい。 $2^{\tilde O(\sqrt{|V| + |E|})}$ $G=(V,E)$ $k$ $\geq k$

アルゴリズムは、単に程度のすべての頂点削除我々はサブセット上頂点誘導性部分グラフが残されるまで、そうで再びそれをしないと、それらのエッジに入射し、そしての頂点の、各次の、または空のグラフで。後者の場合、我々は、大きさの何クリークことを知っている存在しないことができます。前者の場合、おおよその時間内にブルートフォース検索を実行します。なお及び $< k$ $V'$ $\geq k$ $\geq k$ $|V'|^k$ $|E| \geq k\cdot |V'| /2$ 、そのように、および時間に実行されている力まかせ探索そうは実際には時間 $k\leq |V'|$ $|E| \geq k^2/2$ $|V'|^k$ 。 $2^{O(\sqrt{|E|} \cdot \log |V|)}$

— ルカ・トレビサン
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実際、Impagliazzo、Paturiとゼイン、約尋ねるときと主張した理由のこれらの種類の

対

のセットに必要な複雑さ

証人のサイズになるように（あなたがの一部として定義する必要があります問題）。では

-clique場合証人は、サイズのある

2^{Ω (n)}

$2^{\Omega(n)}$

2^{o (n)}

$2^{o(n)}$

n

$n$

k

$k$

小さい

場合、あなたが言うように、少なくとも

エッジと入力サイズは、監視サイズよりもはるかに大きくなります。

\log (\binom{| V |}{k}) \sim k \log | V |

$\log \binom{|V|}{k} \sim k\log |V|$

k

$k$

k | V |

$k|V|$

— ボアズバラク

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個の頂点上のすべての平面グラフにはツリー幅 $n$ 、で解決可能であるすべての問題高々ツリー幅のグラフの時間〜（そのような多くの問題がある）定数ファクタを計算することによって、平面グラフ上の準指数時間アルゴリズムを有します多項式時間でのツリー幅への近似（たとえば、ratcatcherアルゴリズムでブランチ幅を計算することにより）、ツリー幅アルゴリズムを実行し、 $O(\sqrt{n})$ $O^*(2^{O(k)})$ $k$ 個の頂点上のグラフの場合。例は、平面非依存セットおよび平面支配セットであり、これらはもちろんNP完全です。 $O^*(2^{O(\sqrt{n})})$ $n$

— バート・ヤンセン
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準指数時間可解性（SUBEPT）と固定パラメータートラクタビリティー（FPT）には密接な関係があります。それらの間のリンクは、次のペーパーで提供されます。

準指数関数とパラメーター化された複雑さの理論の間の同型、Yijia ChenとMartin Grohe、2006年。

手短に言えば、彼らは、パラメータ化された問題を別のパラメータ化された問題マップする、ミニチュア化マッピングと呼ばれる概念を導入しました。通常の問題を入力サイズでパラメーター化された問題として見ると、次のようなつながりがあります。（論文の定理16を参照） $(P,\nu)$ $(Q,\kappa)$

定理。はSUBEPTにあり、はFPTにあります。 $(P,\nu)$ $(Q,\kappa)$

ここでの定義に注意してください。通常、クリーク問題はでパラメーター化されていると見なします。そのため、指数時間仮説を想定した準指数時間アルゴリズムはありません。ただし、ここでは、入力サイズによって問題をパラメーター化するため、 $k$ $k$ $O(m+n)$ 、これはサブ指数時間アルゴリズムです。また、定理は、クリーク問題は、パラメーターねじれの下で扱いやすい固定パラメーターであり、合理的であることを示しています。 $2^{O(\sqrt{m}\log m)}$ $k$ $k$

一般に、SERF削減（サブ指数関数削減ファミリ）の下でのSUBEPTの問題は、FPT削減の下でFPTの問題に変換できます。（論文の定理20）さらに、指数的時間複雑性理論とパラメーター化された複雑性理論の問題の階層全体の間で同型定理を提供するため、接続はさらに強力です。（定理25および47）同型は完全ではありませんが（それらの間にいくつかのミッシングリンクがあります）、これらの問題について明確な画像を持っていることはまだ素晴らしいことであり、パラメーター化された複雑さを介して準指数時間アルゴリズムを研究できます。

詳細については、JörgFlumとMartin Grohe の調査と、複雑さのコラムの編集者であるJacoboToránを参照してください。

— Hsien-Chih Chang張顯之
ソース

はい。ところで、FlumとGroheは調査を書きました。ToranはComplexity Columnエディターです。

— アンディドラッカー

@アンディ：訂正していただきありがとうございます。それに応じて記事を修正します。

— Hsien-Chih Chang張顯之

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別の例としては、警官と強盗のゲームがあります。これは、NP困難ですが、n個の頂点を持つグラフで時間で解くことができます。XML Fedor V. Fomin、Petr A. Golovach、JanKratochvíl、Nicolas Nisse、Karol SuchanのBibTeX書誌レコード：グラフでの高速強盗の追跡。理論。計算。科学 411（7-9）：1167-1181（2010） $2^{o(n)}$

— XXYYXX
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おっと、これは恥ずかしいかもしれませんが、

-hard問題には指数関数的時間仮説があるという理由だけで、指数関数的時間アルゴリズムがないと長い間信じていました。:(

N P

$\mathsf{NP}$

— Hsien-Chih Chang張顯之

6

これを見るための簡単な方法の一つが真でない恥...しかしは、どの取ることはありません

-hard言語

した後、「パディング」バージョン形式

でを'はい'の場合は次の形式である

と、

いくつかの固定のために、

。その場合、

は

N P

$NP$

L \in N P T I M E (n^{k})

$L \in NPTIME(n^k)$

L^{'}

$L'$

(x, 1^{| x |^{c}})

$(x, 1^{|x|^c})$

x \in L

$x \in L$

c > k

$c > k$

L^{'}

$L'$

N P

$NP$ 、しかし本質的には

時間で実行される決定論的アルゴリズムを持ってい

。

2^{n^{k / c}}

$2^{n^{k/c}}$

— アンディドラッカー

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クリークための最良の近似アルゴリズムは、信じられないほど悪い近似要因が与える（の近似係数というリコール自明です）。 $n/\text{polylog } n$ $n$

これに完全には一致しないさまざまな硬度の仮定の下で近似の硬度の結果がありますが、それでも硬度与えます。個人的には、クリークの近似は、多項式時間アルゴリズムが行うのと同じくらい優れていると考えています。 $n^{1-o(1)}$ $n/\text{polylog } n$

ただし、クリークの近似は、準多項式時間で簡単に実行できます。 $n/\text{polylog } n$

NP困難問題は、SATから多項式時間を削減した問題です。SATは時間必要とする場合であっても、これは時間に翻訳することができる我々が削減問題について。後者の入力サイズがNの場合、小さな定数 thatである可能性があります。 $2^{\Omega(n)}$ $2^{\Omega(N^\epsilon)}$ $N=n^{1/\epsilon}$ $\epsilon$

— ダナ・モシュコヴィッツ
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