決定論的計算の非決定論的高速化

非決定論は決定論的計算を高速化できますか？はいの場合、いくらですか？

非決定性による決定論的計算の高速化とは、次の形式の結果を意味します。

$\mathsf{DTime}(f(n)) \subseteq \mathsf{NTime}(n)$

例えば

$\mathsf{DTime}(n^2) \subseteq \mathsf{NTime}(n)$

非決定性による決定論的計算の最も有名な高速化の結果は何ですか？何についてあるいはの代わりに？ $\mathsf{\Sigma^P_kTime}(n)$ $\mathsf{ATime}(n)$ $\mathsf{NTime}(n)$

準二次時間のシングルテープチューリングマシンのよく知られた特性を避けるために、マルチテープチューリングマシンを使用して複雑度クラスが定義されていると仮定します。

— カベ
ソース

（では定理4.1と時間階層定理、あなたの例では、1-テープのTMのために保持することはできません。）

回答:

エキサイティングなスピードアップを期待しないでください。我々は持っています

D T I M E (f (n)) \subseteq N T I M E (f (n)) \subseteq A T I M E (f (n)) \subseteq D S P A C E (f (n)),

$\mathrm{DTIME}(f(n))\subseteq\mathrm{NTIME}(f(n))\subseteq\mathrm{ATIME}(f(n))\subseteq\mathrm{DSPACE}(f(n)),$

そして、空間による決定論的時間の最もよく知られているシミュレーションは、ホプクロフト-ポール-ヴァリアントの定理です。

D T I M E (f (n ） ） \subseteq D S P A C E （ f （ n ） / ログ f （ n ） ） 。

$\mathrm{DTIME}(f(n))\subseteq\mathrm{DSPACE}(f(n)/\log f(n)).$

したがって、非決定性または交替が対数的要因以上にスピードアップすることは知られていない。（私は、HPV定理がDSPACEの代わりにATIMEで動作するように作れないかどうかはわかりませんが、超線形の高速化も知られていません。）

— EmilJeřábekがモニカをサポート
ソース

一テープオンラインチューリングマシンの場合、それは民間伝承はすなわち

。

N T I M E (n) \subseteq D S P A C E (\sqrt{n})

$NTIME(n) \subseteq DSPACE(\sqrt{n})$

— マイケルウェハ16

二テープチューリングマシンの場合、我々は

前述のように。

D T I M E (n) \subseteq D S P A C E (n / \log (n))

$DTIME(n) \subseteq DSPACE(n/\log(n))$

— マイケルウェハ16

問題は、マルチテープチューリングマシンについてです。

— エミールイェジャベクはモニカをサポートします

興味のある読者に追加の説明を提供したかっただけです。

— マイケルウェハ16

ポールPippenger-Szemerédi-トロッターにより、最初の包含は

の特別な場合のために

。

DTIME (f (n)) ⊊ NTIME (f (n))

$\text{DTIME}(f(n)) \subsetneq \text{NTIME}(f(n))$

f (n) = n

$f(n)=n$

— アンドラスサラモン

2つの異なる概念があります。

（1）非決定性マシンによる決定性マシンの効率的なシミュレーション。

（2）シミュレーションを繰り返し適用することで得られる高速化の結果。

非決定論的なマシンによる決定論的なマシンの効率的なシミュレーションは知りませんが、効率的なシミュレーションが存在する場合に使用できる高速化の結果をいくつか知っています。

非決定論的推測のみを使用して、時間実行される非決定論的チューリングマシンによって決定可能な言語のクラスを考えます。つまり、目撃者の長さはによって制限されます。 $NTIGU(t(n), g(n))$ $t(n)$ $g(n)$ $g(n)$

非決定的推測のみを使用したより効率的なシミュレーションがある場合は、かなり高速化できると思います。特に、次のことを証明できると思います。 $\log(n)$

もし、次いで $DTIME(n \log(n)) \subseteq NTIGU(n, \log(n))$ 。 $DTIME(2^{\sqrt{n}}) \subseteq NTIME(n)$

これがおもしろいと思うなら、その証拠を書き上げることができます。

ライアン・ウィリアムズは、「徹底的な検索の改善が超多項式下限を意味する」で、関連する高速化をいくつか紹介しました。

— マイケル・ウェハール
ソース

あなたが見ることができるように、

かなり大きな仮定であり、あなたが虚偽であることを仮説を証明することができることを非常に合理的です。もしそうなら教えてください。:)

D T I M E (n \log (n)) \subseteq N T I G U (n, \log (n))

$DTIME(n \log(n)) \subseteq NTIGU(n, \log(n))$

— マイケルウェハ16

@AndrasSalamon：どのようにないことを

徹底的な検索からですか？

\subseteq

$\subseteq$

@RickyDemerあなたは正しいですが、そうではありません。コメントを削除しました。非決定性は計算の終わりにあると暗黙のうちに仮定していましたが、最初にあると仮定する必要があります。

— アンドラスサラモン

更新：最後に、私が述べた提案された高速化の結果を書き始めました。私が見つけた他のスピードアップの結果とは少し違うようです。ディスカッションに興味がある場合は、お気軽に返信またはメールでお問い合わせください。ありがとうございました！:)

— マイケル・ウェハー

確かに見てみると、これは興味深いアプローチです。

— アンドラスサラモン

以下は、trueであるにもかかわらず、決定論的計算の一般的な4次非決定論的高速化が証明しにくい理由の説明です。

一般的な四次非決定的スピードアップ決定論的計算のようなことを想定成り立ちます。矛盾のため、その仮定。内の任意の問題から二次の時間短縮がある $\mathsf{DTime}(n^4) \subseteq \mathsf{NTime}(n)$ $\mathsf{SAT} \in \mathsf{DTime}(o(n^2/\lg n))$ に。これら我々が有するであろう合成時間階層定理と矛盾します。 $\mathsf{NTime}(n)$ $\mathsf{SAT}$ $\mathsf{DTime}(n^4) \subseteq \mathsf{DTime}(o(n^4/\lg n))$

したがって、決定論的計算の一般的な4次非決定論的高速化は、下限を意味します。 $\mathsf{SAT}$

。 $\mathsf{DTime}(n^4) \subseteq \mathsf{NTime}(n) \to \mathsf{SAT} \notin \mathsf{DTime}(o(n^2/\lg n))$

したがって、決定論的計算の一般的な2次非決定論的高速化を証明することは、少なくとも 2次下界を証明することと同じくらい困難です。 $\mathsf{SAT}$

同様に、適切に機能する関数： $f(n)$

。 $\mathsf{DTime}(f(n^2)) \subseteq \mathsf{NTime}(n) \to \mathsf{SAT} \notin \mathsf{DTime}(o(f(n)/\lg n))$

（代わりに、線形時間削減の下でにとって難しい問題を選ぶと、その問題の下限はます。いくつかのマシンテープの数我々は使用することができますFürerの時間階層定理はありません倍を。） $\mathsf{SAT}$ $\mathsf{NTime}(n)$ $f(n)/\lg n$ $k\geq 2$ $\lg n$

— カベ
ソース

SATがDTime（n）にないことすらわからないので、

高速化はわかりません。

ω (n \lg n)^{2}

$\omega(n \lg ⁡n)^2$

— カベ