効率的なログスペースアルゴリズム

決定論的対数空間（）で決定可能な問題は、せいぜい多項式時間（）で実行されることがわかります。多くの既知のログスペースアルゴリズム（たとえば、無向st-connectivity、平面グラフ同型）は、で実行されます。ここで、はめちゃくちゃ大きいです。$L$$P$$O(n^k)$$k$

• 私は決定論的対数空間と時間で同時に解けることが知られている自然問題の例を探しています。ここでです。10に関して特別なことは何もありません。現在知られているログスペースアルゴリズムを見ると、は十分興味深いと思います。$O(n^k)$$k \leq 10$$k \leq 10$
• アレリウナス等。無向st-connectivityが（ランダム化ログスペース）にあることを示しました。それらのアルゴリズムの実行時間はです。と線形時間（または）線形時間、つまり時間で同時に解決できる自然な問題はありますか？$RL$$O(n^3)$$RL$$O(n{\log}^i{n})$

編集：物事をより面白くするために、少なくとも -hard である問題を見てみましょう。$NC^1$

シングルソースシングルシンクPlanar DAG（SSPD）の到達可能性には、適度な実行時間（？）のログスペースアルゴリズムがあると思います。単一ソースの複数シンクの平面DAG到達可能性（SMPD）アルゴリズムについては、よくわかりません。$O(n^2)$

参照：Eric Allender、David A. Mix Barrington、Tanmoy Chakraborty、Samir Datta、Sambuddha Roy：平面およびグリッドグラフの到達可能性の問題。理論計算。システム。45（4）：675-723（2009）

また、平面性のテストと埋め込みのための新しい対数空間アルゴリズムは、適度に多項式時間で実行されます（もちろん、モジュロ無向到達可能性）

参照：Samir Datta、Gautam Prakriya：平面性テスト再考CoRR abs / 1101.2637：（2011）

最後に、これは、適度な実行時間（モジュロ無向到達可能性）を備えた対数空間アルゴリズムを持つ単純なおもちゃの問題です。外平面同型。

この答えは、実際の研究問題というよりもおもちゃの問題です。

プログラマーの友人に提供するログスペースアルゴリズムの私の典型的な例は、次のパズルです。

サイズが不明なリンクリスト（）を与え、一定数のポインター変数を使用して、リンクリストがループするかどうかを判断します。$n$

解決策は、リンクリストノードへの2つのサイズのポインターを使用するログ空間アルゴリズムです。リンクリストの先頭から両方を開始し、次の反復手順を実行します。$O(\log n)$

• リストの最初のポインターを1ステップ進めます。
• リストの2番目のポインターを2ステップ進めます。
• いずれかのポインターが末尾を見つけた場合、falseを返します。
• ノードが同じノードを指す場合、trueを返します。
• それ以外の場合は、再度繰り返します。

$n$$n$

$O(n)$

$NC^1$