予想：すべてのFPT NP完全言語は固定パラメーター同型です

Berman–Hartmanis予想：すべてのNP完全言語は、多項式時間同型によって相互に関連付けられるという意味で、似ています[1]。

「多項式時間」のより細かいバージョンに興味があります。つまり、パラメーター化された削減を使用する場合です。

パラメータ化された問題は、の部分集合である、Σは、有限アルファベットとなるZ ≥ 0非負数の集合です。したがって、パラメーター化された問題のインスタンスはペア（I 、k ）です。ここで、kはパラメーターです。$Σ^∗ × Z \geq 0$$Σ$$Z\geq 0$$(I, k)$$k$

パラメータ化された問題パラメータ化された問題に対する固定パラメータ還元性であるπ 2機能が存在する場合、F、G：Z ≥ 0 → Z ≥ 0、Φは：Σ * × Z ≥ 0 → Σ *と、多項式P （・）そのようなその任意のインスタンスのための（I 、K ）のπ 1、（Φ（I $π_1$$π_2$$f$$g$$Z≥0 → Z≥0$$Φ : Σ∗ × Z≥0 → Σ^∗$$p(·)$$(I, k)$$π_1$のインスタンスである π 2時間で計算可能 F （K ）・P （| I |）と （I 、K ）∈ π 1の場合に限り（Φ（I 、K ）、G （K ））∈ π$(Φ(I, k), g(k))$$π_2$$f(k) · p(|I|)$$(I, k) ∈ π_1$$(Φ(I, k), g(k)) ∈ π_2$。2つのパラメーター化された問題は、互いに固定可能な固定パラメーターである場合、固定パラメーターと同等です。

いくつかのNP完全問題はFPTです。たとえば、頂点カバー問題の決定バージョンはNP完全で、アルゴリズムを持っています[2]。NP-CompleteであるFPT問題のより良い固定パラメーター削減を見つけることは、たとえば、Multiway Cut問題の「保証以上のバージョン」への削減を呼び出すことにより、より良いアルゴリズムにつながる可能性がありますO ∗（4 k） AGVC（Above Guarantee Vertex Cover）problem [3]の場合、これは元のO ∗（15 k）アルゴリズム[4] よりも優れています。$O(1.2738^k + kn)$$O^*(4^k)$$O^*(15^k)$

$\textbf{My Conjecture: All FPT NP-complete languages are fixed-parameter-isomorphic.}$

その推測は本当ですか？

[1]バーマン、L。Hartmanis、J.（1977）、「NPと他の完全セットの同型と密度について」、SIAM Journal on Computing 6（2）：305–322。

[2] J. Chen、IA Kanj、およびG. Xia、頂点カバーの改善された上限、Theor.Comput。Sci。、411（2010）、pp。3736-3756。

[3] M. Cygan、M。Pilipczuk、M。Pilipczuk、およびJO Wojtaszczyk、IPEC、2011年に下限を超えてパラメーター化された多方向カットについて。

[4] M. MahajanおよびV. Raman、保証値を超えるパラメーター化：Maxsatおよびmaxcut、J。Algorithms、31（1999）、pp。335-354。

Serge Gaspersは、あなたの推測がほんとうに真実である理由をすでに述べました。
ただし、実際には多項式時間の固定パラメーター同型を取得できます。
これ
は、通常の意味での削減を伴う重要でないFPT問題のすべての順序付けられたペアに適用されるため、それほど自明ではないことを認識しています 。

$c$$\pi_1$
$Y$$N$$\pi_2$
$\pi_1$$\pi_2$

$\pi_1$$n^{\hspace{.02 in}c}$
$Y$$N$
$\pi_1$$\pi_2$


$\:$$c$$\pi_1$$k$$n$$n^{\hspace{.02 in}c}$$\:$$k$$\:$ したがって、これは固定パラメーター条件を満たします。