1対3のSATは、すべての変数がポジティブにもネガティブにも発生しても、NPハードのままですか？

標準的な問題1-in-3 SAT（またはXSATまたはX3SAT）は、次のとおりです。
インスタンス：正確に3つのリテラルを含むすべての句を含むCNF式
質問：句ごとに正確に1つのリテラルが満たされている満足のいく割り当て設定がありますか？

問題はNP完全であり、変数が否定されない場合でも困難なままです。各変数が少なくとも1回は正に、少なくとも1回は負に発生する必要がある場合、この問題が簡単になるのか、それとも難しいままになるのかと思います。

1型3 SATハード置き換え句であることを示す3SATからの通常の還元句によって、、ここで $(x\lor y \lor z)$ $(\lnot x \lor a \lor b)$ $(y\lor b\lor c)$ $(\lnot z \lor c \lor d)$ $a,b,c,d$ 節ごとに新鮮です。したがって、この削減は私の質問に答えるのに役立ちません。このバリアントの硬さを示すガジェットを思い付くのに苦労しました。句の正確に1つのリテラルが真である場合、非対称的に2つのリテラルが偽であるためです。それが簡単であることが判明した場合、条項セットのパーティションの観点から考えるとそれができるかもしれませんが、その方法はわかりません。

cc.complexity-theory np-hardness sat

— ドミニク・ピーターズ
ソース

2土に減らすことはできますか？

— ジョシュアハーマン

X_{i}

$X_i$

(X_{i} \lor {\bar{X}}_{i} \lor W) \land (X_{i} \lor {\bar{X}}_{i} \lor Y) \land (X_{i} \lor {\bar{X}}_{i} \lor Z)

$(X_i\vee \overline X_i \vee W) \wedge (X_i\vee \overline X_i \vee Y)\wedge (X_i\vee \overline X_i \vee Z)$

(W \lor Y \lor \bar{Z})

$(W \vee Y \vee \overline Z)$

(\bar{W} \lor Y \lor Z) \land (W \lor \bar{Y} \lor Z)

$(\overline W \lor Y\lor Z)\land(W\lor\overline Y \lor Z)$

X_{i} \lor {\bar{X}}_{i}

$X_i\lor\overline X_i$

おそらくニール・ヤングのアイデアに基づいて、あなた自身の質問に対する完全な回答を書くことをお勧めしますか？（ちなみに、なぜそれが「満足できない」のかは

— DW

その特別なケースが本当に気になるケースである場合、質問を編集してその追加の制約を反映することは理にかなっていますか？

— DW 2015

コメントで、OPは節ごとに3つの異なる変数を持つインスタンスを生成する削減に関心を示しました。ここに簡単なアプローチがあります：

削減は、節ごとに3つの異なる変数を持つ1対3のSATによるものです。

まず、入力式のすべての句を出力式の句として含めます。
$F_1$ $F_2$ $F_3$ $(\neg F_1, F_2, F_3)$ $(F_1, \neg F_2, F_3)$ $(F_1, F_2, \neg F_3)$
$x$ $x'$ $(x, x', F_1)$ $(\neg x, \neg x', F_1)$

この削減が私たちが望んでいることを確認してみましょう。以下のプロパティが必要です。

各句には常に3つの異なる変数があります。
各変数は、いくつかの節で肯定的に発生し、一部の節で否定的に発生します。
入力式は出力式と同じです。

$F_1$ $F_2$ $F_3$

$F_1$ $F_2$ $F_3$ $F_i$ $F_1$ $(x, x', F_1)$ $(\neg x, \neg x', F_1)$ $x' = \neg x$ $x'$ $x'$ $x$ $F_i$

— ミハイル・ルドイ
ソース