から選択された整数の明確な違いの数

研究中に次の結果に遭遇しました。

$lim_{n \to \infty} E [\frac{# {| a_{i} - a_{j} |, 1 \leq i, j \leq m}}{n}] = 1$ $\lim\limits_{n\to \infty} \mathbb{E}\left[ \frac{\#\{|a_i-a_j|,1\le i,j\le m \}}{n} \right] = 1$ ここで、およびはからランダムに選択されます。 $m=\omega(\sqrt n)$ $a_1,\cdots,a_m$ $[n]$

参照/直接証明を探しています。

MOにクロスポスト

reference-request co.combinatorics pr.probability

— 朱曹
ソース

もし

m = \sqrt{n}

$m = \sqrt{n}$ 、あなたが得ることができる異なった差の最大数は

m (m - 1) / 2 < n / 2

$m(m-1)/2 < n/2$ 。ですから、これが本当であるためには、

よりも速く成長するために

が本当に必要です。私がやることは、数

が差ではない確率を計算することです

。

m

$m$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

d

$d$

d = | a_{i} - a_{j} |

$d = |a_i - a_j|$

— ピーターショー

@Shor：ありがとう、質問を更新しました。実際、

E (\sum x_{i}) = \sum E (x_{i})

$\mathbb E(\sum x_i)=\sum \mathbb E(x_i)$ 、特定の差

を計算する方が簡単

d

$d$ です。

— 朱曹操

@ZhuCao、「

からランダムに

m

$m$ 整数

選択してください」と言うとき、正確な分布はどういう意味ですか？iidの均一な

を想定していました。

a_{1}, . . ., a_{m}

$a_1,...,a_m$

[1, n]

$[1,n]$

{1, \dots, n}

$\{1,\dots,n\}$

— -usul

@アンドラスいいえ、そうではありません。たとえば、数字

1

$1$ が選択されていない場合（確率は0から離れている）、差

n - 1

$n-1$ は表示されず、

D_{n} < n

$D_n<n$ ます。しかし、なぜそうである必要があるのでしょうか？質問は、

期待値が

D_{n} / n

$D_n/n$ 1に近づくことのみを求めており、

D_{n}

$D_n$ が1に等しい可能性が高いとは限りません。

— ジェームスマーティン

複数のStack Exchangeサイトにクロスポストしないでください。当社のサイトポリシーでは、同時クロスポストは禁止されています。少なくとも1週間待つことを示しています。適切な回答が得られない場合は、モデレーターの注意を促すためにいつでもフラグを立てて、移行を依頼することができます。

— DW

と仮定します。 $m=\omega(\sqrt{n})$

修正します。とを考慮します。目的は、として高い確率で、が差異のセットに含まれることを示すことです。 $\epsilon>0$ $r\in[1,n]$ $r<(1-\epsilon)n$ $n\to\infty$ $r$

まず、セット検討します。多数のととなるよう周りの期待との二項である。したがって、のような高い確率で、そのようなの数は少なくともになります。これはです。次に（主張、「練習として残して」、表示するのは難しくありません）、高い確率でで、セットサイズは少なくともです。この「良いイベント」、つまりを書きましょう。 $A=\{a_i:i<m/2\}\cap[1,\epsilon n]$ $i$ $i<m/2$ $a_i<\epsilon n$ $\epsilon m/2$ $n\to\infty$ $i$ $\epsilon m/4$ $\omega(\sqrt{n})$ $n\to\infty$ $A$ $\sqrt{n}$ $G$ $|A|\geq\sqrt{n}$

実際にが成り立つと仮定します。すなわち、、少なくともより小さい異なる値があります。このような各値には、正確により大きい値あることに注意してください。次に、のの値を考えます。これらは独立しており、それぞれが少なくともの確率を持ち、集合要素から距離ます。差が生成されない確率は、最大で $G$ $\sqrt{n}$ $a_i$ $\epsilon n$ $i<m/2$ $k\in [1,n]$ $r$ $a_i$ $i\geq m/2$ $\sqrt{n}/n=1/\sqrt{n}$ $r$ $A$ $r$ $(1-1/\sqrt{n})^{m/2}$ どのように0になるので。したがって、実際には、が保持されるがサイズの差が存在しない確率はとして0になる傾向があります。 $n\to\infty$ $m=\omega(\sqrt{n})$ $G$ $r$ $n\to\infty$

そのため（一様に）、が差異のセットに含まれる確率は、として1になる傾向があります。したがって、期待の線形性を使用して、以来任意で所望のように、限界は1です。 $r<(1-\epsilon)n$ $r$ $n\to\infty$

\underset{n \to \infty}{lim inf} E [\frac{# {| a_{i} - a_{j} |, 1 \leq i, j \leq m}}{n}] \geq 1 - ϵ .

$\liminf \limits_{n\to \infty} \mathbb{E}\left[ \frac{\#\{|a_i-a_j|,1\le i,j\le m \}}{n}\right] \geq 1-\epsilon.$

ϵ

$\epsilon$

— ジェームス・マーティン
ソース

式でそれぞれの違いを独立として扱いますか？そうであれば、それは正当化されますか？

1 - (1 - ϵ / n)^{ω (n)}

$1-(1-\epsilon/n)^{\omega(n)}$

— -usul

@ジェームスああ、今私はその逃した場所を見る。ありがとうございました。

n

$n$

— ダニエルソルテス

@usul：確かに、謝罪、私の議論はずさんで不完全でした。私はそれを拡大しました-私はそれが今水を保持していると思います。

— ジェームスマーティン