大学生向けの直感に反する結果

私は一般的な聴衆の話に対する人々の直感に反する結果の例を探しています。専門家以外から「あなたの直感は何を教えてくれますか？」結果の記述は、cs / mathの大学生に簡単に説明できるはずです。主にコンピューターサイエンスの結果を探しています。

お住まいの地域で最も一般的に興味のある直感に反する/予期しない結果は何ですか

一般の聴衆のために、あなたは彼らが見ることができるものに固執しなければなりません。理論化を開始するとすぐに、彼らは携帯電話を起動します。

以下に、例を完成させるために考え出せるアイデアをいくつか示します。

1. 片側だけの表面があります。
2. 曲線は正方形全体を埋めることができます。
3. 円以外の一定幅の曲線があります。
4. すべての境界点が3ボーダーになるように、平面を3色で着色することができます。

少しの数学的知識に頼ることができれば、さらに多くのことができます：

1. 自然数と同じ数の奇数があります。
2. そこで連続してどこにも微分可能関数は。
3. 関数あり、これはすべての有理数で不連続であり、すべての無理数で微分可能です。$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$
4. バナッハ・タルスキー「パラドックス」。

プログラマーのためにあなたは試すことができます：

1. 不可能汎関数：述語かかるプログラムありp : stream → bool、stream無限のバイナリシーケンスのデータ型であるが、戻るtrue場合にのみp αであるtrueため、すべてのストリームα（つまり非可算多くだ）、及びfalseそれ以外の場合は。

2. 不正行為を防ぐ信頼できる方法で電話でポーカーをプレイすることは可能です。

3. 人々のグループは、誰も他の人の給与を知ることなく、平均給与を計算できます。

4. 次のプロパティを持つバイナリツリーTを構築$T$するプログラムがあります。

   • 木は無限です$T$
   • Tに無限のパスをトレースするプログラムはありません$T$

1つのアイデアはストリーミングアルゴリズムから簡単なものです。おそらく最良の候補は多数決アルゴリズムです。数字ストリームs 1、… 、s nが次々に表示され、1つの数字が半分以上の時間で発生していることはわかっているが、どの数字かはわからないとします。一度に2つの数字しか覚えられない場合、どうすれば多数決を見つけることができますか？答えは、Misra-Griesアルゴリズムです。$s_1, \ldots, s_n$

各タイムステップで、ストリームからの数値と周波数カウンターfを保存します。最初にxをストリームの最初の数に設定し、周波数fを1に初期化します。その後、新しい数s iが表示されるたびに、x = s iかどうかをチェックします。x = s iの場合、fをf + 1に増やし、それ以外の場合はfをf − 1に減らします。f = 0の場合、xをs iに設定します$x$$f$$x$$f$$s_i$$x = s_i$$x=s_i$$f$$f+1$$f$$f-1$$f=0$$x$$s_i$そしてを1に戻します。ストリームの最後の要素の後、多数決要素があった場合、それはxと等しくなります。$f$$1$$x$

別のアイデアは、ゼロ知識証明を説明するための有名なゲームです。これはOded Goldreichによるもので、グラフ同型のゼロ知識証明に似ていると思います。

答えを自己完結させるために、ここにゲームがあります。色覚異常の友人に、赤と緑を区別できると確信させたいとします。あなたの友人は2組のカードを持っており、彼は1つの山が緑で、もう1つの山が赤であることを知っています。彼はあなたに会わずに次のことをします：確率1/2では各デッキからカードを1枚引き、確率1/4では左デッキから2枚のカードを引き、確率1/4では右デッキから2枚のカードを引きます。それから彼はあなたにカードを見せ、それらが同じ色であるかどうか尋ねます。あなたが色盲でない場合、あなたはもちろん毎回正しく答えることができます。あなたが色盲の場合、確率1/2で失敗します。そのため、ゲームを10回プレイすると、色覚異常である間に毎回勝つ可能性は非常に低くなります。

キッカーは、あなたの友人がカードの2つのデッキが2つの異なる色であることを知っていたが、どちらが赤でどれが緑であるかを知らなかった場合、彼はまだこれの終わりに知らないということです！要約すると：

1. プルーフにはランダム性の場所があります。
2. 情報を提供することなく、何かを知っている人を説得することができます。

寸法の単位球の体積最初として成長N成長（2 、π 、4 π / 3 、...）が、のために減少し始め、N = 6、最終的に収束0としてN → ∞。$n$$n$$2,\pi,4\pi/3,\dots$$n=6$$0$$n\to\infty$

複雑性理論の反直感的な結果は、PCP定理です。

非公式には、すべての問題Aに対して、対数の乱数ビットを使用し、証明から一定数のビットのみを読み取ることにより、証明の正確性（Aのメンバーシップの証明）を検証できる効率的なランダム化チューリングマシンがあると述べています。定数は3ビットに減らすことができます。したがって、ランダム化された検証者は、宣言された証明から3ビットのみを読み取る必要があります。$NP$$A$$A$

CS学部生にとって直観に反することがわかっていることの1つは、O （n ）時間でn個の要素の並べ替えられていない配列から次の統計を選択できるという事実です。すべての生徒は、まず配列を（O （n l g n ）時間で）並べ替える必要があると考えています。$i$$n$$O(n)$$O(n~lg ~n)$

MDBSの答え/角度に構築し、何かの直感に反したの古典的な結果発見時にはその基盤でTCSではの存在である（UN）決定可能性そのもの。20の変わり目^番目の世紀ヒルベルト、当時の他の主要な数学者の思考をミラーリング、数学ができることを考え体系（多少私たちは今のように認識するものの形で、アルゴリズム＆多少の概念を介した）「finitism」（アルゴリズムのステップの有限シーケンスとしての考え方と大まかに類似しています）。彼はこれらの線に沿って有名な未解決問題を提案しました。彼（およびその他）の直感は、ある種の壮観な方法で間違っていることが判明しました。カウンタープルーフはゲーデルの定理とチューリング停止問題。どちらも当初は非常に抽象的な概念/結果であり、当時の主要な数学者にしか理解できない長く高度な技術論文/議論でしたが、現在はより単純な概念構造に洗練され、学部生に教えられています。これらは最初は同じ現象の2つの側面/顔とは見なされていませんでしたが、現在は同じです。

また、整数ディオファントス方程式が決定不能であることを証明するために、約3世紀近くかかった、ヒルベルトの10番目の問題。これは、数論が非常に難しいことが常に知られているという意味で直感に反しますが、その中のいくつかの特定/識別可能な問題が実際に「解決不可能」であるという概念は、時に衝撃的でした。ムーアの法則によるハードウェアの数十年の急激な増加と、ある意味「まだそれに対して無力」である大規模なスーパーコンピューターがあるにもかかわらず、数学/ TCSにおける決定不能性は依然として大きな課題です。決定不能性の驚きのいくつかの側面は、クラインの著書 『数学、確実性の喪失』に見ることができます。

当たり前のように思えますが、個人的な経験から、一定数の操作を使用してアイテムのコレクションの中央値を推定できるという考えは少し衝撃的です。そして、それが少し技術的すぎると思われる場合は、いつでも選挙の投票に関する声明に変換できます（人口の大きさに関係なく、3％の誤差でサンプルを取得するには1300人が必要です）。

これに関連するのは、もちろん誕生日の逆説です。

おそらく、（計算の複雑さに直接関係しない）良い例は、単純な計算モデルのチューリングの普遍性です。

たとえば、ルール110は効率的（弱）に普遍的です。

0-1（白黒）セルの（無限）配列が適切に初期化され、単純な置換ルールが与えられた場合：

「作業用コンピューター」があります！:-)

「弱」および「効率的」の定義、および単純なユニバーサルチューリングマシンの他の例については、以下を参照してください。 。TurloughNeary、Damien Woods。小さな万能チューリングマシンの複雑さ：調査。

別の不可解な例は、FRACTRANのチューリング完全性です。「プログラミング言語」です。

• $(p_1/q_1, p_2/q_2,..., p_n/q_n)$。
• $n$$q_i$$n$$n \leftarrow n \cdot \frac{p_i}{q_i}$ ;
• $q_i$$n$

$n$

また、サイクリックタグシステム、ant-automataなどの他のモデルを使用することもできます
。あまり直感的ではないアイデアは、「計算」がほぼすべての場所に隠されていることです。彼のA New Kind of Scienceでその考えを表現してください（はい...はい...いくつかの批判的なレビューにもかかわらず、私はついにそのハードコピーを購入しました:-)

私の頭の上のいくつかの良い候補者：

• すべてのNFAには同等のDFAがあります

• $p$$p^i$$i \in \mathbb{N}$$i > 0$

• 公開鍵暗号

  • 暗号化された引数を使用して関数を呼び出し、入力に関する情報を公開せずに目的の結果を受け取る

  • RSA暗号化

• リードソロモンコード

• 可算性

  • $|\mathbb{N}| = |\mathbb{Z}| = |\mathbb{N} \times \mathbb{N}| = |\mathbb{Q}|$

  • $\{0,1\}^*$$\mathbb{R}$

  • $|S| < |\mathcal{P}(S)|$

• より哲学的なレベルでは、チューリングマシンが計算を正確に定義していることに驚いた