フリードマンの（証明できない）上シフト固定小数点定理の計算結果？

Harvey Friedmanは、ZFC（通常のツェルメロフランケル集合理論と選択の公理）では証明できないきちんとした固定小数点の結果があることを示しました。現代の多くのロジックは固定小数点演算子に基づいて構築されているので、疑問に思っていました。理論的なコンピューターサイエンスの上位シフト固定小数点定理で知られている結果はありますか？

証明できない上限シフト固定小数点定理
すべての、いくつかのは含み。A = 立方体（A 、0 ）∖ R [ A ] 米国（A $R \in \text{SDOI}(Q^k,Q^k)$$A = \text{cube}(A,0) \setminus R[A]$$\text{us}(A)$

USFPの定理はステートメントであるように見えるため、計算能力（自動構造の非同型性のチェックなど）に「十分に近い」可能性があり、理論的なコンピューターサイエンスに影響を与えます。$\Pi^1_1$

完全を期すために、2009年11月のフリードマンのMIT講演の定義を以下に示します（「ブール関係理論」のドラフトブックも参照してください）。

$Q$は有理数のセットです。 あるため相当するたび場合次いで。場合、次いで上側シフトの、示さたちを（Xは）、の座標毎に非負に1を加算したX。関係A ⊆ Qのkはある順序不変すべての注文の場合は不変等価X 、Y ∈ Q K$x, y \in Q^k$X I < X J ⇔ Y I < Y jの X ∈ Qの$1 \le i,j \le k$$x_i \lt x_j \Leftrightarrow y_i \lt y_j$$x \in Q^k$$x$$\text{us}(x)$$x$$A \subseteq Q^k$ $x,y \in Q^k$$x \in A \Leftrightarrow y \in A$$R \subseteq Q^k \times Q^k$$R$$Q^{2k}$$x,y \in Q^k$$R(x,y)$A Q k R [ A ] { y | ∃ X ∈ A R （X 、Y ）$\max(x) \lt \max(y)$$A$$Q^k$$R[A]$$\{ y | \exists x \in A R(x,y)\}$、Aの上位シフト$A$は$\text{us}(A) = \{\text{us}(x) | x \in A\}$、および$\text{cube}(A,0)$少なくとも意味$B^k$ように$0 \in B$そして$A$に含まれる$B^k$。$\text{SDOI}(Q^k,Q^k)$が、厳密に支配的なすべての順序不変関係R \ subseteq Q ^ k \ times Q ^ kのセットを表すとしましょう$R \subseteq Q^k \times Q^k$。

編集： DömötörPálvölgyiがコメントで指摘しているように、とを有理数の通常の順序にすると、反例が得られるようです。まず、セットは空にできませんも空になり、はキューブ条件によって0を含む必要があるため、矛盾します。空でないセットに限界がある場合、これより大きな有理数を含めることはできないため、これはシングルトンである必要があり、これは上位シフト条件と矛盾します。一方、に下限がない場合、なので、は空である必要があります。 $k=1$$R$$A$$R[A]$$A$$A$$A$$R[A] = Q$$A$おそらく合理的根拠の暗黙の非標準モデルなど、隠れた非自明な定義上の問題があるかどうかについてのコメントはありますか？

さらに編集：上記の引数はおおまかに正しいですが、上部シフトの適用では間違っています。この演算子は負でない座標にのみ適用されるため、を任意の負のシングルトンセットに設定すると、必要に応じて固定点が得られます。つまり、場合、が解となり、他の解はありません。$A$$m < 0$$A = \{m\}$

私はこの特定の定理の結果を知りませんが、帰納的構造の計算のようなラムダ計算の正規化証明は、大きな項の公理に依存しています-ラムダ項のセットは、あなたが望む限り数えることができますが。

大規模な基数の存在を主張する集合論的公理の計算上の重要性を理解する最良の方法は、集合論をグラフの理論を表現する方法として考えることです。つまり、セットのモデルは、メンバーシップを解釈するために使用されるバイナリ関係を備えた要素のコレクションです。次に、集合論の公理は、古い関係から新しい集合を形成する方法など、メンバーシップ関係の特性を示します。特に、ファンデーションの公理とは、メンバーシップ関係が十分に確立されていることを意味します（つまり、無限の下降チェーンはありません）。この十分な基盤は、プログラムの実行状態を、セットの要素の推移的なメンバーシップに合わせることができれば、終了証明があることを意味します。

したがって、「大きな」セットが存在するという主張には、一般的な再帰プログラミング言語の特定のクラスのループが終了するという主張として、計算上の見返りがあります。この解釈は、無限の単純な古い公理（自然数の反復を正当化する）から大きな基数公理に至るまで、一律に機能します。

これらの公理は本当ですか？まあ、公理が偽の場合、これらのクラスの1つに終了しないプログラムを見つけることができます。しかし、それが真実である場合、Haltingの定理のおかげで、確信が持てません。自然数帰納法からのすべては科学的帰納法の問題であり、常に実験によって改ざんされる可能性があります。