このパスの問題の複雑さはわかっていますか？

インスタンス： Anがグラフ無向頂点区別2つと整数であり、。 $G$ $s\neq t$ $k\geq 0$

質問：パスが最大で三角形と交差するように、にパスが存在しますか？（この問題では、パスに三角形からのエッジが少なくとも1つ含まれている場合、パスは三角形と交差すると言われます。） $s-t$ $G$ $k$

cc.complexity-theory graph-algorithms

これは間違っていますか？各エッジに重みを割り当て、最短のstパスを見つけます。各エッジの重みは、そのエッジを含む三角形の数です。このパスの重みは、出会う三角形の数とは異なりますが、三角形の数が最小のstパスです。（考えられる問題は、1つまたは複数の三角形を2回カウントする可能性があることです。その三角形の2つのエッジにアクセスするためですが、それらを選択する理由は、三角形のもう1つのエッジを通過するよりも小さいためです。また、単純なパス手段があります。三角形の2つのエッジは互いに隣接しています）。

— Saeed

@Saeedわからない：過大評価では次善のパスを選択できないという議論は何ですか？アルゴリズムは確かに2近似です。多分修正は、すべてのパスエッジを追加することです。重みはと両方を含む三角形の数に等しい

(u, w)

$(u, w)$

u \to v \to w

$u\to v \to w$

(u, v)

$(u,v)$

(v, w)

$(v,w)$

— Sasho Nikolov

右、uからvに移動し、x（三角形uvwにない他のノード）を選択してから、間違ったwに移動します（私の間違いは、三角形uvwにない頂点間で逃したことです）が、あなたの修正とそれが理由で、すべての回目のパスのために正しいです

α

$\alpha$ 元のグラフの三角形を

、補助グラフに重み

パスがあるからです。さらに、新しいグラフのパスの重みは常に、少なくとも元のグラフの対応するパスの三角形の数と同じです。

α

$\alpha$

— 2015年

修正後も機能しない場合でも、もう少し考えます。私が間違った希望を持ってきたなら、アンドラスに申し訳ない。修正が間違っている理由を確認するには、パス

内の頂点

を考慮してください。三角形

と

あり、エッジ

と

も発生しているとします。多くの三角形。

を接続する人工の新しいエッジを使用する場合、三角形

を数えます

u - > v - > w - > x

$u->v->w->x$

P

$P$

u, v, w

$u,v,w$

v, w, x

$v,w,x$

v x

$vx$

u w

$uw$

u - > w

$u->w$

2回。PS：私たちは、単純に置き換えると思ったので、私の推論は再び間違っていた

と

新しい（マルチ）縁と

。すべてのパスにこれらの人工エッジを追加すると、簡単に機能します。NPCだそうです。

v, w, x

$v,w,x$

u - > v

$u->v$

v - > w

$v->w$

u - > w

$u->w$

— 2015年

私のアイデアは機能しません-複数のセットを維持する必要があるので、それらのセットは多すぎると思います。

— reinierpost 2015年

自己エッジがないと仮定します。 $G$

ノード間の各エッジに対してとにおける、聞かせて、及びないエッジが存在しない場合。計算行列 $v_i$ $v_j$ $G$ $E[i,j]=1$ $E[i,j]=0$ $n\times n$ 、ノードの各ペアと間の2ホップパスの数を示します。その後間のエッジに対する及びにおける計算別段セット $C[i,j]=\sum_{k=1}^n E[i,k]\cdot E[k,j]$ $v_i$ $v_j$ $v_i$ $v_j$ $G$ $D[i,j]=E[i,j]\cdot C[i,j]$ $D[i,j]=\infty$ 、エッジが含まれている三角形の数を示します（エッジがない場合は無限）。計算に必要な行列積コスト（のスパース性に応じてより速く計算することができる）。 $C$ $O(n^3)$ $G$

次に、となるような行列計算します。。はすべて最短経路 $n\times n$ $A$ $A[i,j]=\min(D[i,j],\min_k(D[i,k]+D[k,j]-E[i,j]))$ $A$ $D$ いくつかの三角形の2つのエッジに沿ったパスを考慮して、最大2つまでの長さが拡張されています。

ここで、が（重み付けされた）隣接行列である新しいグラフで、と間の最短経路を計算します（すべてのエッジの重みが正であるため）。つまり、、（距離行列を与える）熱帯半環上の閉鎖です。 $v_i$ $v_j$ $G$ $A$ $A^*[i,j]\leq k$ $A^*$

— エドガー
ソース