トポロジーのコンピューターサイエンスへの応用

コンピューターサイエンスにおけるトポロジの応用に関する調査を作成したいと思います。私は、コンピューターサイエンスのトポロジカルなアイデアの歴史を取り上げ、現在のいくつかの開発を強調する予定です。誰かが以下の質問について意見を述べることができれば、非常に役立ちます。

1. コンピューターサイエンスでのトポロジの使用の時系列を説明する論文やメモはありますか？

2. トポロジーの結果のコンピューターサイエンスへの最も重要な応用は何ですか？

3. トポロジーを使用して計算の洞察を得る現在の研究で最も興味深い分野は何ですか？

ありがとう！

個人的には、トポロジの最も興味深いアプリケーションは、HerlihyとShavitが行った仕事だと思います。彼らは代数トポロジーを使用して非同期分散計算を特徴付け、重要な既知の結果の新しい証拠を与え、多くの長年の未解決の問題をノックアウトしました。彼らは2004年のゴデル賞を受賞しました。

「非同期計算のトポロジ構造」、モーリス・ハーリーとニール・シャビット、Journal of the ACM、Vol。46（1999）、858-923、

トポロジは、幾何学、代数、メトリック、ポイントセット、および（自己非推奨の）ポイントレストポロジを含むさまざまなサブフィールドを持つ、非常に成熟した分野です。また、コンピューターサイエンスはかなり広く、数学的サブエリアが多数あるため、CSでのトポロジカルなアイデアの応用が期待されます。マーシャル・ストーンは「常に謝罪します」と言い、必要なバックグラウンドを持つコンピューター科学者はしばしばそうします。ほら。いくつかの例。

これらの例は、トポロジによって解決されるハードCSの問題だけではありません。トポロジ概念がCS設定に非常にうまく移行する場合や、CSのサブエリアの基礎を提供する場合があります。

1. 命題論理のコンパクト性定理は、ティコノフの定理の結果です。通常、1次ロジックのコンパクト性は、異なる方法で証明されます。コンパクト性は、古典的なモデル理論の重要なツールです。

2. ブール代数に対するストーンの表現定理は、命題論理、ブール代数、および特定の位相空間のモデルを関連付けます。代数論理およびプログラミング言語のセマンティクスで使用される構造に対して、ストーンタイプの双対性の結果が導き出されました。

3. Nick Pippengerは、Stoneの定理を正規言語のブール代数に適用し、トポロジーを使用して正規言語に関するいくつかの事実を証明しました。言語理論のトポロジに関する最近の研究については、Jean-Eric Pinのコメントを参照してください。

4. 正式な方法には、安全性と活性プロパティの概念があります。すべての線形時間プロパティは、安全性と活性プロパティの共通部分として表現できます。証明は基本トポロジを使用します。

5. MartínEscardóは、無限のセットを検索するためのアルゴリズムと記述プログラムを開発しました。コンパクトさがその仕事の重要な要素だと思います。

6. ポーランドのトポロジー学者（クラトフスキーなど）の仕事により、閉鎖演算子が提供されました。ラティス上のクロージャー演算子は、静的プログラム分析の根底にある抽象解釈の理論の重要な部分です。

7. 閉包演算子と他のトポロジカルなアイデアは、数学的形態学の基礎です。

8. モーダルロジックの公理化では、ポーランドの学校のインテリアオペレーターの概念も重要です。

9. 多くのコンピューターサイエンスは、グラフベースの構造に基づいています。一部のアプリケーションでは、グラフやトポロジによって提供されるものより自然な次のステップである接続性とフローの豊富な概念が必要です。これは、並行性理論におけるvan Glabbeekの高次元オートマトンと、並行プログラムのセマンティクスへの幾何学的トポロジーのEric Goubaultのアプリケーションを読んだものです。

10. おそらく最も多くの報道を受けるアプリケーションは、分散コンピューティングの特定のフォールトトレランスシナリオを特徴付けるトポロジ（最初は代数的ですが、より多くの組み合わせのプレゼンテーションも存在します）のアプリケーションです。上記のHerlihyとShavitに加えて、BorowskyとGafni、SaksとZaharouglouも、このような最初のブレークスルーにproosfを与えました。非同期計算可能性フレームワークは、このような結果をより多く生成しました。

11. ブラウワーの不動点定理により、いくつかの問題が発生しました。最近では、アルゴリズムゲーム理論の研究で、固定小数点問題の複雑度クラスPPADおよび複雑度クラスFixPを研究しています。

12. Borsuk-Ulamの定理には、グラフおよびメトリック埋め込みへのいくつかのアプリケーションがあります。これらはJiříMatoušekの本で説明されています。

これらは、そこにあるもののわずかなピッキングです。幸運を！

ドメイン理論は本質的に高度にトポロジカルであり、トポロジの1回限りのアプリケーションであり、多かれ少なかれ独自のトポロジのサブフィールドです。プログラミング言語、特に関数型言語の表示的意味論におけるそのアプリケーションは、確かにコンピューターサイエンスにおけるトポロジの最も重要なアプリケーションの1つです。値（関数を含む）には、DCPO（有向完全半順序）またはそのような構造に関するセマンティクスが与えられます。この設定では、などの再帰領域方程式を解くことができ、型付けされていないなどの獣にセマンティクスを与えます。$D\cong [D\to D]$$\lambda$-計算。セマンティクスは基本的に、順序付けによって与えられる近似の概念と方程式の最小不動点解に基づいており、解の存在は一般に保証されています。

表示的意味論に由来するのは、抽象的な解釈とプログラムの分析および検証との接続です。

現在の研究には、並行性および量子言語の表示的意味論の提供が含まれています。

AbramskyとJungは、コアアイデアであるDomain Theoryについて素晴らしい調査を行っています。

半代数多様体と超平面配置（およびそれらの補数）の連結成分の数の境界、より一般的にはベティ数が代数計算と決定木のいくつかの下限に使用されています。いくつかの大きなリファレンスについては、以下を参照してください。

Michael Ben-Or、代数計算ツリーの下限、STOC 1983、pp。80-86。

Andrew Chi-Chih Yao、デシジョンツリーの複雑さとベティ数、J。Comput。システム科学。55（1997）、いいえ。1、パート1、36-43（STOC 1994）。

Anders BjornerとLaszlo Lovasz、線形決定木、部分空間配置、Mobius関数、J。Amer。数学。Soc。7（1994）、いいえ。3、677-706。

Smaleは別の、しかし多少関連する脈絡で、Blum-Shub-Smaleモデルでのルート検索の複雑さの下限に、かなり興味深い方法でトポロジを使用しました（特に、組紐グループのコホモロジー）。

Smale、S.アルゴリズムのトポロジーについて、IJ Complexity、3（2）：81-89、1987

介した計算可能な分析と計算可能性。$2^{\omega}$

これは、デイブの答えと領域理論に関連しています。ここでの基本的な議論は計算可能性が本質的に局所操作と有限観測に基づいているということです。計算可能性は、トポロジーの洗練された概念と考えることができます。最も明確な例は次のとおりです。

すべての（Oracle Turing）計算可能関数は連続的です。一方、すべての連続関数は、適切なオラクルで計算可能なオラクルチューリングです。

詳細については、Klaus Weihrauchの著書「Computable Analysis」を参照してください。また、Steven Vickersの「Topology via Logic」という素敵な本もご覧ください。

調査に関連する可能性のある他の2つの論文...

M.ゲールケ、S。グリゴリエフ、J.-E。ピン、認識へのトポロジカルアプローチ、ICALP 2010、パートII、コンピューターサイエンス6199の講義ノート、Springer Verlag、（2010）、151-162。

M.ゲールケ、S。グリゴリエフ、J.-E。ピン、正規言語の双対性と等式理論、ICALP 2008の最優秀論文賞、トラックB、ICALP 2008、パートII、コンピューターサイエンス5126講義ノート、Springer Verlag、（2008）、246-257。

Kneser予想とAandera-Rosenberg-Karp予想のKahn / Saks / Sturtevantの証明を忘れないでください。

以前はイリノイ州にいたロバート・グリスト氏の作品は見ていませんが、現在はUペンで、トポロジーをセンサーネットワークやロボット工学などに適用しています。これはいいインタビューです。

また、データ分析へのトポロジーの適用に関するGunnar Carlsson等の研究に非常に関連しています。

おそらくSTOC / FOCS TCSではなく、間違いなくコンピューターサイエンスです。

並行性を理解し、並行計算をモデル化する理論は、トポロジ的に最もよく理解されます。先ほどの回答で言及された非同期計算のトポロジ構造に関するHerlihyとShavitの有名な作品とは別に、Eric goubaultはジオメトリを使用した並行性のモデリングで作業を行い、PrattのStanford並行性グループでの並行性のためのChuスペースのアプリケーションに関する作業も興味深い私は彼らの仕事に精通していませんが。

すべての作業は、フォールトトレラントな量子コンピューターへのトポロジカルなアプローチに関するKitaevによって開始されました。Kitaevの元の論文、または、たとえばJohn Preskillの講義ノートを参照してください。

有向代数トポロジーについてはまだ誰も言及していませんが、実際には、並行性の研究に適した代数トポロジーツールボックスを提供するために開発されました。

また、計算理論のトピックに対するいくつかの低次元トポロジカルアプローチもあり、それらはすべてかなり新しいものです。

• 三つ編みの理論に基づいたフォールトトレラントな任意量子計算へのさまざまなアプローチ。たとえば、HEREおよびHEREを参照してください。また、断熱量子計算のネットワークはこちら。
• ラムダ計算（例えばHERE、46-48ページ、およびHERE）およびミルナーのパイ計算（HERE）のための図式的なトポロジーベースの形式。
• 色付きのもつれの連結を使用して、再帰とマルコフ連鎖をモデル化します。たとえば、HEREおよびHEREを参照してください。実際、チューリングマシンの計算とリカレント1次ニューラルネットワークをこの方法でモデル化できることが証明されています（未発表）。
• トポロジ図は計算を表し、トポロジ的に等価な図は同一の計算内容を持つ異なる手順を表す、量子計算にはより高いカテゴリーの理論形式があります。こちらをご覧ください。

メトリック埋め込みへのいくつかのアプリケーション。

Matousekによるこの本をチェックしてください：http ://kam.mff.cuni.cz/~matousek/akt.html

これらの論文もご覧ください。

• 低次元のユークリッド空間へのBi-Lipschitz埋め込み、J。Matousek（1990）（彼はvan Kampenの定理を使用して下限を証明）
• R ^ d、J。MatousekおよびA. Sidiropoulosへのメトリック埋め込みの非近似性

この本を読んでください：

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この本「Computational Complexity：A Quantitative Perspective」を確認してください。 リソースに制限のあるトポロジツールを使用して、いくつかの複雑なクラスのサイズを調査します。

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