P = NPの場合、Goldbachの予想などの証明を取得できますか？

これは私の専門知識のうち、素朴な質問です。事前におaび申し上げます。

数学のゴールドバッハの予想や他の多くの未解決の質問は、述語計算の短い公式として書くことができます。たとえば、クックの論文「コンピューターは数学的証明を日常的に発見できるか？」その推測を

\forall n [（ n > 2 \land 2 | n ） \supset \exists r \exists s （ P （ r ） \land P （ s ） \land n = r + s ）]

$\forall n [( n > 2 \wedge 2 | n) \supset \exists r \exists s (P(r) \wedge P(s) \wedge n = r + s) ]$

多項式の長さの証明に注意を制限する場合、そのような証明の定理はNPにあります。したがって、P = NPの場合、Goldbachの予想が多項式時間で真であるかどうかを判断できます。

私の質問は次のとおりです。多項式時間で証明することもできますか？

編集。Peter ShorとKavehのコメントによると、Goldbachの推測が実際に短い証明の定理の1つである場合、それが正しいかどうかを判断できるという主張を修飾する必要がありました。もちろん、私たちにはわかりません！

— ジョセフ・オルーク
ソース

まず、Goldbachの推測の短い（<1000ページ？）証拠を提示するには、短い証拠が必要です。P = NPはそれとは無関係です。

— ピーターショー

@ Suresh、@ Kaveh：あなたはこれを間違っているようです。ここに、NP検索問題の具体的なインスタンスがあります。ここで関連する量指定子は、定理の証明（適切な形式システム）の存在です。

— クリストファーアーンスフェルトハンセン

もう1つの注意点は、実際にアルゴリズムを書き留めることです。P= NPが、ステートメントの長さと最短証明の長さの時間多項式に存在する場合、そのステートメントの証明を見つけます。（この多項式はすべての定理に当てはまる限界です）、しかし、それは「天文学的な」アルゴリズムになります。

— クリストファーアーンスフェルトハンセン

@ジョー：いいえ、私は実際に今すぐアルゴリズムを書き留めることができます！（P = NPかどうかさえわからない）。このアイデアは、レビンのユニバーサル検索として知られているものです。

— クリストファーアーンスフェルトハンセン

@クリストファー：クール！LSについて知らなかった。Marcus HutterにはLSに関する一種の改善点があります。「すべての明確に定義された問題に対する最速かつ最短のアルゴリズム」。コンピュータサイエンスの基礎の国際ジャーナル、13（3）：431-443、2002年

— ジョセフ・オルーク

回答:

確かに！

P = NPの場合、Goldbachの予想（またはその他の数学的ステートメント）の長さnの証明が存在するかどうかを決定できるだけでなく、効率的に見つけることもできます！

どうして？私たちが尋ねることができるので、最初のビットが...であるという条件付けの証明はありますか？

そして、どのようにnを知っていますか？すべての可能性を昇順で試してみます。i番目の可能性に一歩を踏み出すとき、それぞれの可能性1 ..（i-1）にも一歩踏み込みます。

— ダナ・モシュコヴィッツ
ソース

これはレビンのユニバーサル検索アルゴリズムではありませんか？

— モハマドアルトルコ

@turkistany：はい、そうです！

— ダナモシュコヴィッツ

ダナは質問に答えました。しかし、ここでは実際的な側面についていくつかのコメントがあります。

$P=NP$ $P=NP$ $P=coNP$

$NP$ $l$ $P=NP$ $l$

$P=NP$ $l$ $l$ $P=NP$ $P$ $DTime(n^2)$ ）、このアルゴリズムを実行して、実行可能であるが非常に大きな長さの証明を確認するために実行できます。これは、人間が思い付く可能性のある証明よりも大きくなり、アルゴリズムが答えを見つけられない場合、文章を証明することは事実上不可能です。ダナが言及したトリックは、証拠を見つけるためにここでも機能します。

実用的な手段：

$P=NP$ $DTime(10000n^{10000})$
証明が存在する場合にのみ証明を見つけます（つまり、文はZFCで決定不能な文ではありません）。さらに、証明は実行可能な限り短くする必要があります。
$P\neq NP$ $NP=DTime(n^{\log^* n})$

— カベ
ソース

(n^{10})

$(n^{10})$