最短経路の無駄なエッジを識別する

$G$ $M_G$ $G$ $M_G[i, j]$ $i$ $j$ $G$ $+$ $\max$

私は、サブグラフと言うの（同じ頂点セットを有する）であるSP-同等の場合。つまり、エッジを削除してからしても、最短パスの長さは変わりません。削除されたエッジは、最短パスには必要ありません。 $G'$ $G$ $G$ $M_G = M_{G'}$ $G$ $G'$

一般に、の単一のspに相当する部分グラフは含まれません。たとえば、が無向で、すべてのエッジの重みが場合、スパニングツリーは最小のsp-等価サブグラフです（実際、サイクル内のエッジはすべて削除できますが、頂点ペアを切断すると明らかに距離が変わります）。しかし、私はまだのエッジ呼び出すことができる役に立たないが、彼らがいない最小限のSP-同等部分グラフである場合、必要に応じて、彼らはすべての最小限のSP-同等部分グラフにある場合（つまり、その交差点で）、およびオプションで、彼らはそれらのいくつかにある場合（つまり、、彼らの連合で）。 $G$ $G$ $0$ $G$ $G$

私の最初の質問は、これらの概念には標準的な名前がありますか？

2番目の質問は、が無向か有向か、および集計関数に応じて、この方法でのエッジを分類する複雑さは何ですか？ $G$ $G$

（たとえば、無向および場合、最小sp等価サブグラフは最小重みのスパニングツリーであるため、少なくともすべてのエッジの重みが異なる場合、分類は一意の最小スパニングツリーを計算することで簡単に計算されますが、一般的には私は物事がどのように機能するのか分かりません） $G$ $\max$

— a3nm
ソース

「たとえば、Gが無向かつ重み付けされていない場合、Gのスパニングツリーは、最小のsp等価サブグラフです。」これは真実ではないようですすべての距離はですが、のスパニングツリーにはこのプロパティがありません。実際、サブグラフはありません。Othewiseスパナのようなこの音en.wikipedia.org/wiki/Graph_spanner#Distance

K_{n}

$K_n$

1

$1$

K_{n}

$K_n$

— Sashoニコロフ

実際には、任意の無向重みなしグラフの、全くSP相当サブグラフが存在しない：サブグラフ場合ないエッジを含む、次いで。

G

$G$

G^{'}

$G'$

(u, v)

$(u, v)$

1 = M_{G} [u, v] < M_{G^{'}} [u, v]

$1 = M_G[u, v] < M_{G'}[u, v]$

— サショニコロフ14

少なくとも識別はすべてのペアの最短パスと同じくらい簡単であると言えると思います：エッジがあるが、からへの最短パスがそのエッジより短い場合、エッジは「役に立たない」（どのシナリオでも、このエッジの代わりに常により短いパスを使用する必要があります）; 逆に、エッジが「役に立たない」場合、からまでのエッジの長さよりも短いパスが必要です。したがって、エッジを反復処理し、そのエッジよりも短いパスがあるかどうかを確認します。（上記は通常の最短パスの場合で、集約ルールについては

(u, v)

$(u,v)$

u

$u$

v

$v$

u

$u$

v

$v$

max

$\max$

— 考慮し

「距離保存」を検索することがあります

— arnab 14年

Sasho Nikolov：申し訳ありませんが、無向グラフと非加重グラフでは、1ではなく0のエッジを意味しました。これを質問で言い換えます。

— a3nm 14年

「無用」および「必要」と呼ぶこれらのエッジに名前を付ける（または代替として特性化する）方法を探している場合は、それらをそれぞれ中心性= 0および= 1のエッジと呼ぶことができます。すべてのエッジは、all-pairs-shortest-pathsの時間に= 0、= 1、またはin（0,1）間の測定値を持つものとして分類できます。

これはよく研究されたネットワークエッジの尺度であり、エッジの削除時にすべてのエッジの中心性スコアを更新するための高速アルゴリズムがあります（ただし、他の摂動についてはわかりません）。

中心性関数は、私が見たほとんどすべてのネットワーク分析に組み込まれており、有向グラフにも適用される定義があります。

（編集：最初に与えたリンクはノード間の中心性についてのみ議論しましたが、ここではエッジ間の中心性について議論する唯一のウィキペディア記事があります：http : //en.wikipedia.org/wiki/Girvan%E2%80%93Newman_algorithm それでも、辺間はネットワーク分析パッケージに通常見られる標準的な尺度です）

— ジム
ソース

ノード間の中心性とエッジ間の中心性の違いは、中間ノードを常にエッジに追加したり、ノードをコピーして一方のコピーから他方のコピーにエッジを追加したりして、一方の定義を他方に減らすことができるため、重要ではないと思います。これは便利なポインタです。これを知ってくれてありがとう！

— a3nm 14