サヴィッチの定理の厳密な下限

まず第一に、私は愚かさを事前に謝罪します。私は決して複雑性理論の専門家ではありません（それからはほど遠い！私は複雑性理論の私の最初のクラスを取っている学部生です）ここに私の質問があります。現在、Savitchの定理は この下限がきついかどうか、つまり は達成できません。 NSPACE （F （N ）） ⊆ DSPACE （（F （N ））1.9

ここで簡単な組み合わせの引数を作成する必要があるように思われます-決定論的チューリングマシンの構成グラフの各ノードには出力エッジが1つしかありませんが、非決定論的チューリングマシンの構成グラフの各ノードはより多くを持つことができます1つの発信エッジよりも。Savitchのアルゴリズムが行っているのは、任意の数の出力エッジを持つ構成グラフを出力エッジを持つ構成グラフに変換することです。$<2$

構成グラフは一意のTMを定義しているため（これについてはわかりません）、後者の組み合わせサイズは前者よりもほぼ確実に大きくなります。この「違い」は、おそらくn ^ 2の要因であり$n^2$、おそらくそれよりも少ないでしょう-私は知りません。もちろん、ループがないことを確認する方法など、解決すべき技術的な問題はたくさんありますが、私の質問は、これがこのようなことを証明するための合理的な方法であるかどうかです。 

これはよく知られている未解決の質問です。複雑さの理論では、誰もどうしてそれらを解決できなかったのか疑問に思う多くの未解決の質問を見るでしょう。理由の一部は、私たちがあなたを解決するのを助けるためにあなたのような新しい人が必要だということです:)

Savitchのアルゴリズムが制限されたモデルで最適であることを示すこの分野の最新の結果については、Aaron PotechinのFOCS論文を参照してください。

具体的には、彼は、確定的TMの構成グラフには（入力を修正した後）発信エッジが1つしかないため、それを無向グラフと考えることができるという素晴らしい観察から始まります。したがって、質問は次のようになります：有向グラフの二つの特別な頂点を持つ頂点、我々はそれをマッピングする場合頂点無向グラフ（またと特殊頂点）となるように各エッジの存在依存します一つのエッジとから経路が存在するに対してでとの間の経路がありますときに限りn s 、t N G ′ s ′、t ′ G ′ G s t G s ′ t ′ G ′ N $G$$n$$s,t$$N$$G'$$s',t'$$G'$$G$$s$$t$$G$$s'$および、からがどれだけ大きくなければならないか。$t'$$G'$$N$$n$

Savitchのアルゴリズムが最適であることを示すには、が少なくともでなければならないことを示す必要があります。表示するには、それが弱いのことをバインドを示せばよいすべての定数の。ようなものは、それほど興味深い理由ではないかもしれませんが、でさえも不明であると確信しています。2 Ω （ログ2 Nを） = N Ω （ログN ） L ≠ N L N > N C C N > N 10 N ≥ N $N$$2^{\Omega(\log^2 n)} = n^{\Omega(\log n)}$$L\neq NL$$N > n^c$$c$$N > n^{10}$$N \geq n^2$

これがきついかどうかはわかりません。そうでなければ、あることがわかります。$L \neq NL$