DFAに関して未解決の問題はありますか？

学部生で決定論的有限状態オートマトン（DFA）を研究した後、私はそれらが非常によく理解されていると感じました。私の質問は、それらについてまだ理解していないものがあるかどうかです。DFAの一般化を意味するのではなく、私たちが学部生で研究している元の未修正のDFAを意味します。

これはあいまいな質問ですが、アイデアが得られることを願っています。私たちがDFAを完全に理解していると言ってもいいかどうかを理解したいと思います。ですから、DFAに関する問題のように見せかけた問題ではなく、本質的にDFAに関する質問を意味します。そのような問題の例を挙げましょう。P = NPの場合、Lを空の言語とし、PがNPでない場合、いくつかの固定非正規言語とします。LはDFAで受け入れられますか？この質問はDFAに関するものですが、それは精神的なものではありません。私の主張が明確であり、人々からfrom舌な非回答を得ないことを願っています。

要するに、言うのは公平ですか

基本的にDFAを完全に理解しています。

これが私が気づいていない巨大な研究分野であり、人々のコミュニティ全体をjust辱したばかりであることが判明した場合、申し訳ありません。

Shallitの本「形式言語とオートマトン理論の2番目のコース」に記載されている1つの問題があります。

みましょうとvが持つ2つの異なる単語のこと| あなた| = | v | = n。uを受け入れるがvを拒否する、またはその逆の最小のDFAのサイズは？$u$$v$$|u|=|v|=n$$u$$v$

"彼の論文ではロブソン、小さなオートマトンと弦の分離 1989年には"上限証明。Ωで最もよく知られている下限（log n ）。$O(n^{2/5}(\log n)^{3/5})$$\Omega(\log n)$

調査については、こちらをご覧ください。

DFAについての非常に単純な決定問題があります。DFA Mが与えられた場合、Mは少なくとも1つの素数の基数2表現を受け入れますか？

現在、この問題が再帰的に解決可能かどうかはわかりません。

再帰的に解くことができ、そのアルゴリズムがあれば、既知の最大の65537よりも大きいフェルマー素数（形式の素数）があるかどうかについての長年の未解決の問題を解決できます。フォーム1 0 + 1の基数2表現を持つ素数は、フェルマー素数でなければなりません。）$2^{2^n} + 1$$1 0^+ 1$

チェルニーの予想はまだ開かれていて重要です。これは持っているのDFAについてである同期ワードと尋ねるかどうか（のための（常に両方の単語を処理した後、互いに同じ状態で終わるオートマトンの2つのコピーが異なる状態で起動性を有するワード） -stateオートマトン）最短のそのような単語の長さは常に最大（n − 1 ）2です。最も実績のある境界は、O （n 3）の形式です。$n$$(n-1)^2$$O(n^3)$

DFAに関する非常に基本的な概念の相互作用に関する別の研究問題を指摘したいと思います。

任意のn状態のNFAは、最大状態を持つ同等のDFAに変換できることはよく知られています。これは、非決定的な状態の複雑N（すなわち、最小限のNFAの状態数）が、決定論の状態の複雑さの正規言語があるという意味で、最悪の場合には可能な限り最高で2 nは。また、非決定論が二次因子を保存できる言語ファミリの例や、非決定論が状態をまったく保存しない場合もあります。したがって、自然な質問は次のとおりです。$2^n$$2^n$

マジックナンバーの問題

nと2 nの間の各に対して、非決定的状態の複雑さと決定的状態の複雑さとのギャップが正確にαになるような正規言語L nがありますか？$\alpha$$n$$2^n$$L_n$$\alpha$

数学的な観点からパワーセットの構築とMyhill-Nerodeの関係を完全に理解すれば、ごとにそのような言語を構築できるか、あるいはこれが不可能なαの値を指定できると期待できます（そのような値が存在し、これらは「マジックナンバー」と呼ばれます）。$\alpha$$\alpha$

入力アルファベットサイズにはマジックナンバーがあり、2009年以降、アルファベットサイズが少なくとも3であればマジックナンバーはないことが知られています。しかし、私が間違えなければ、バイナリアルファベットの場合はまだ開いています。$1$$3$

ガリーナ・ヒラスコバ。マジックナンバーと3進数のアルファベット。In：13th International Conferences on Developments on Language Theory（DLT 2009）、Volume 5583 Lecture Notes in Computer Science、pages 300-311。

タイトル： 2つのDFAの交差点非空

説明： 2つのDFAのを考えると及びD 2、文字列が存在しないXようなD 1及びD 2が受け入れるの両方のxが？$D_1$$D_2$$x$$D_1$$D_2$$x$

未解決の問題：時間で2つのDFAの交差の非空を解決できますか？$o(n^2)$

我々はこの問題を解決することができれば時間δ <2を、そして強い指数時間仮説が反論されるだろう。$O(n^{\delta})$$\delta$

説明： 準2次時間での正規言語の交差の空虚性の決定

これは役に立つかもしれません：http : //rjlipton.wordpress.com/2009/08/17/on-the-intersection-of-finite-automata/

すてきな一日を！:)

DFAと機械学習理論に関連する未解決の問題は次のとおりです。PACモデルで一様にランダムな（ランダムな遷移と受け入れ/拒否の動作）DFAを学習できますか？

注：任意のDFAは、暗号硬度の結果の学習可能なb / cではないと思います。ランダムDFAの場合、SQ下限のみがあり、これはそれほど強くありません。

$L$$L$$L$$l$$L$$l$$L$$l$$O(n^2)$

$n$

閉形式の式が存在するはずですが、何も知られていないように思えます。漸近的な境界がいくつか知られています：

$n$

ここに私が以前ここでいたDFA関連の質問がありますが、私が知る限り、それはまだ公開されています：

$n$$\Sigma=\{0,1\}$$DFA(n)$$n$$|DFA(n)| = n^{2n}2^n$

$x,y\in\Sigma^*$$K_n(x,y)$$DFA(n)$ $x$$y$

$K_n(x,y)$$K_n(x,y)$$poly(n,|x|,|y|)$

この質問は、機械学習に影響を及ぼします。

（「ボックスの外側を考える」...）これは、DFAに関係するやや不自然な問題です（他の場所で調査されたことはありません）が、TCSのテーマを明らかにします。 、ライスの定理に具体化された側面/テーマでもあります。（いくつかの点で、究極の「複雑さ」は「チューン完全性」とも呼ばれる「決定不能性」です。）

$n$$x$$n$$x↑n$

$DFA_n$$DFA'$$DFA'$$n$$DFA_n$$DFA'$、RL（およびDFA）でもあります。

$\Sigma$

$n$$DFA_n ≠ \Sigma*$

$\Sigma*$$n$

今、これを質問とさらに結び付けるために、これは広く注目されていませんが（一部では些細なことであると考えられています）、TCS /数学の多くの未解決の問題は、停止問題の神託を考えると、決定不能と密接に関連しています解決」。

そのため、ある意味で、決定不能であるのDFAについては、この基本的な問題を使用して一緒にこのすべてを結ぶ、そこになります常に常に決定不能問題と等価（この1のような）のDFAについて「オープン」の問題が存在しますので、のDFAに関する未解決問題も。実際、この構造が何らかの方法で行うようにライスの定理を逆に使用すると、基本的にTCSの比較的「単純」でありながら自明でない計算プロパティを使用して、決定不能な問題を構築できます。

[1] 指数関数的な時間を必要とする単語の問題 / Stockmeyer＆Meyer

[2] Meyer、AR、L。Stockmeyer。二乗を伴う正規表現の等価問題には、指数空間が必要です。スイッチングおよびオートマトン理論に関する第13回IEEEシンポジウム、1972年10月、125〜129ページ。

[3] 言語、オートマトンおよび計算入門 / Hopcroft / Ullman。