一般化された地理のグラフのファミリーはどれですか？

@Marzioが述べたように、次のゲームはGeneralized Geographyとして知られています。

グラフと開始頂点与えられると、ゲームは次のように定義されます。$G=(V,E)$$v \in V$

各ターン（2人のプレーヤーが交互に）で、プレーヤーは選択し、次のようになります。$u\in N(v)$

1. $v$とそのすべてのエッジがから削除されます。$G$
2. $u\to v$（つまり、は頂点になるように更新されます）。$v$$u$

「行き止まり」（つまり、出て行くエッジのない頂点）を選択せざるを得なかったプレイヤーは負けます。

多項式時間で最適な戦略を計算できるグラフファミリーはどれですか。

たとえば、がDAGである場合、プレーヤーに最適な戦略を簡単に計算できることが簡単にわかります。$G$

Generalized Geography（GG）は、平面有向2部グラフでもPSPACE完全ですが、次のように報告されています。

ハンス・ボドランダー、経路形成ゲームの複雑さ、理論的コンピューターサイエンス、110巻、1号、1993年3月15日、ページ215-245

GG（および他のいくつかのPSPACE完全なバリアント）は、有界ツリー幅のグラフで線形時間解決可能です。

サイドノート：PSPACE完全であることが最近証明された一般化された地理バリアントの1つはTron（ライトサイクルゲーム）です。無向グラフが与えられた場合、2人のプレイヤーが2つの異なる開始頂点を選択し、隣接するものに移動して順番に進みます各ステップの前のそれぞれからの頂点。ゲームは、両方のプレーヤーがもう移動できないときに終了します。より多くの頂点をトラバースしたプレイヤーが勝利します（1990年にBodlaenderとKloksによってPSPACE完全であると推測されました）。
Tillmann Miltzow、Tron、抽象的なグラフの組み合わせゲーム（2011）

編集：私は小さな長方形のソリッドグリッドグラフ（無向）でゲームをテストする小さなプログラムを作成しました。その結果は、このクラスのグラフでも多項式時間解決可能であることを示唆しています（最初のノードがプレーヤーによって選択されたと仮定した場合） Aは左上のノードです）：$n \times m$

               Width n
           1 2 3 4 5 6 7 8 
         1 A B A B A B A B    Winning matrix up to 8x8
         2   B B B B B B B 
         3     A B A B A B 
Height m 4       B B B B B  
         5         A B A B 
         6           B B B 
         7             A B 
         8               B 

不思議なことに、プレーヤーAが任意の開始ノードを選択できる場合、同じ行列が得られます。

コメントで述べたように、GGがソリッドグリッドグラフ（任意の形状で、穴のない）でプレイされたときに勝利戦略があるかどうかを判断する複雑さは知られておらず、おそらく何かを証明するのはそれほど簡単ではないと思いますそれ（確かに-やや関連性がある-ソリッドグリッドグラフにハミルトニアンパスがあるかどうかを決定する問題はまだ開いていますが、ソリッドグリッドグラフにハミルトニアンサイクルがあるかどうかを決定することは多項式時間解決可能です）。

最後の些細な注意：GGは完全なグラフでも解ける多項式時間です。

問題は、有向ツリー幅ダイグラフでもPSPACE完全です。wikiで提供されているPSPACE-Hardness構成を検討してください。頂点をグラフから削除すると、残りのグラフはDAGになります。したがって、幅を分解でき。次に、この分解のすべてのバッグ（ガードバッグまたは樹木バッグ）にを入れ。これにより、有向ツリーの幅が分解されます。（DAGで簡単で、有界の有向ツリー幅グラフでは難しい問題があまりないため、これは興味深いものです）。c G − c 0 c $1$$c$$G-c$$0$$c$$1$