3文字の言語を受け入れるNFAの下限

最近の質問（L_k-distinctの最小NFAのサイズの上限）に関連して、Noam Nisanは、NFAのサイズの下限を、通信の複雑さの上限から得られる下限よりも優れたものにする方法を求めました。以下はその問題の特別なバージョンです。

仮定Lは、いくつかのオーバー言語であるn個の単語のすべての長さは持っている文字のアルファベット3。Lを受け入れる最小のNFAのサイズをN F A （L ）で示します。定義N × N 2行列MとしてM （; BのC ）= 1の場合はbはC ∈ L、そうでなければ0。意味の最小数1のみを含む-submatrices（部分行列$L$$n$$3$$L$$NFA(L)$$n\times n^2$$M$$M(a;bc)=1$$abc\in L$$0$$1$$1$'全てカバーS）1は、マトリックス中にS' MによりC O V （M ）。（SO ログ（C O V （Mは））の非決定性通信の複雑さであるM。）見ることは容易であるN F A （L ）≥ C O V （M ）。我々は、同様に、マトリックス定義する場合、NとしてN （B 、C ）= 1ならを$1$$M$$COV(M)$$\log(COV(M))$$M$$NFA(L)\ge COV(M)$$N$$N(ab;c)=1$A 、B 、C ∈ L、そうでなければ 0、我々はまた、持っている N F A （L ）≥ C O V （Nします）。$abc\in L$$0$$NFA(L)\ge COV(N)$

あるLは、そのためのN F A （L ）> C O V （M ）+ C O V （N ）$L$$NFA(L)>COV(M)+COV(N)?$

C O V （M ）とC O V （N ）の関数によって、N F A （L ）の上限を決めることができ$COV(M)$$COV(N)$$NFA(L)?$

境界...

私たちは、実際に持っているN F A （L ）≥ C O V （M ）+ C O V （N ）、（グルーバー＆ホルツァー2006）における定理4を参照してください。上限については、我々は2 C O V （M ）+ C O V （N ） ≥ D F A （L ）≥ N F A （Lが）、同じ論文で定理11を参照してください。 $NFA(L) \ge Cov(M) + Cov(N)$$2^{Cov(M)+Cov(N)} \ge DFA(L) \ge NFA(L)$

...大幅に改善することはできません

準指数との間に隙間があってもよいC O V （M ）+ C O V （N ）及びN F A （L ）。次の例とギャップの証明は、（Hromkovičet al。2009）の非決定論的な状態の複雑さの下限を証明するための2パーティプロトコルの制限を示す同様の例の適応です。$Cov(M)+Cov(N)$$NFA(L)$

アルファベット[ n ] = {1 、2 、... 、n個}。レッツ L = $[n]= \{\,1,2,\ldots,n\,\}$X 、Y 、Z ∈ [ N ] 3 | X = Y ∨ X ≠ Z}。$L=\{\,xyz\in [n]^3 \mid x=y \vee x\neq z \,\}$

最初にC o v （M ）を処理します。場合に観察W = X 、Y 、Zと、Y = Z、次いで W ∈ L場合：X = Y、W ∈ Lとケースでは、xは≠ yは、我々はまた、持っている X ≠ Zしたがってwは∈ L。場合にも、wは形式であるxは、Y 、Zを用いて 、Y ≠ Z次に、$Cov(M)$$w=xyz$$y=z$$w \in L$$x=y$$w\in L$$x\neq y$$x\neq z$$w\in L$$w$$xyz$$y\neq z$$w\in L$ iff $x\neq z$. So we can write $L = L'\cup L''$, with $L'=\{xyz\in [n]^3 \mid y=z\}$ and $L''=\{\,xyz\in [n]^3 \mid y\neq z \wedge x \neq z \,\}$.

Now consider the bipartite graphs $G' = (U',V',E')$ with $U'=[n]$, $V'= \{yz \in [n]^2 \mid y=z\}$, $E' = U' \times V'$, as well as $G'' = (U'',V'',E'')$ with $U''=[n]$, $V''= \{ yz \in [n]^2 \mid y\neq z\}$, $E'' = \{(x,yz) \mid x\neq z\}$, and $G = (U' \cup U'',V' \cup V'', E'\cup E'')$. Then a biclique edge cover for the graph $G$ gives rise to a covering of $M$ with $1$-monochromatic submatrices, and vice versa (Theorem 21 in Gruber & Holzer 2006).

A simple kernelization trick for computing a biclique edge cover for $G'$ is to put the twin vertices from $U'$ into equivalence classes. Then we do the same in the resulting graph for the twin vertices from $V'$. Twin vertices are those with identical neighborhood. This step does not alter the minimum number of bicliques needed to cover all edges in the respective graph.

The kernelization step collapses $G'$ into a graph with two vertices and a single edge. Thus, the edges of $G'$ can be covered with a single biclique. Applying the kernelization step to $G''$ yields a crown graph on $2n$ vertices, whose bipartite dimension (the minimum biclique edge cover number) is known to be $\sigma(n)$, where $\sigma$ is the inverse function of the middle binomial coefficient (De Caen et al. 1981). Notice that $\sigma(n)=O(\log n)$. Thus the bipartite dimension of $G$ is $1+\sigma(n)$, which is identical to $Cov(M)$.

Now consider $Cov(N)$. Observe that if $w=xyz$ with $x=y$, then $w \in L$. If $x\neq y$, then $x\in L$ iff $x\neq z$. So we can write $L = L''' \cup L''''$ with $L'''=\{xyz\in [n]^3 \mid x=y\}$ and $L''''= \{xyz\in [n]^3 \mid x\neq y \wedge x\neq z\}$. Almost the same argument as above yields $Cov(N)=1+\sigma(n)$.

It remains to give a lower bound on the nondeterministic state complexity of $L$. Observe that $L$ contains all words of the form $xxx$ with $x\in[n]$. For each such word $xxx$ fix an accepting computation of a minimal NFA accepting $L$. Let $p_x$ denote the state reached after reading the prefix $x$, and let $q_x$ denote the state reached after reading the prefix $xx$ of the input word $xxx$. Then all pairs $(p_x,q_x)$ must be different. For the sake of contradiction, assume $(p_x,q_x)=(p_y,q_y)$ for some $x\neq y$. Then we can construct an accepting computation on input $xyx$, such that the NFA is in state $p_x=q_x$ after reading the prefix $x$, and in state $q_y=q_x$ after reading the prefix $xy$. But the string $xyx$ is not in $L$. For the state set $Q$ of the NFA, this shows that $|Q|^2 \ge n$. Thus, for large $n$, we obtain a subexponential separation between $Cov(M)+Cov(N)$ and $|Q|$ (the nondeterministic state complexity of $L$).

References

• Dominique de Caen, David A. Gregory, Norman J. Pullman: The Boolean rank of zero-one matrices, in: Cadogan, Charles C. (ed.), 3rd Caribbean Conference on Combinatorics and Computing, Department of Mathematics, University of the West Indies, pp. 169–173 (1981)

• Hermann Gruber and Markus Holzer. Finding Lower Bounds for Nondeterministic State Complexity is Hard. Report TR06-027, Electronic Colloquium on Computational Complexity (ECCC), March 2006. Short version appeared in: Oscar H. Ibarra and Zhe Dang, editors, 10th International Conference on Developments in Language Theory (DLT 2006), Santa Barbara (CA), USA, volume 4036 of LNCS, pages 363-374. Springer, June 2006.

• Juraj Hromkovic, Holger Petersen, Georg Schnitger: On the limits of the communication complexity technique for proving lower bounds on the size of minimal NFAs. Theor. Comput. Sci. 410(30–32): 2972–2981 (2009)