3-SATのインスタンスはいくつ満たすことができますか？

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n変数の3-SAT問題を考えます。可能な別個の節の数は次のとおりです。

C = 2 n \times 2 (n - 1) \times 2 (n - 2) / 3! = 4 n (n - 1) (n - 2) / 3 .

$C = 2n \times 2(n-1) \times 2(n -2) / 3! = 4 n(n-1)(n-2)/3 \text.$

問題インスタンスの数は、可能な節の集合をすべての部分集合の数である：。通常、各、少なくとも1つの満足できるインスタンスと1つの満たされないインスタンスが存在します。任意のnの充足可能なインスタンスの数を計算すること、または少なくとも推定することは可能ですか？ $I = 2^C$ $n \ge 3$

cc.complexity-theory sat

— アントニオ・バレリオ・ミチェリ・バローネ
ソース

関連する質問も参照してくださいcstheory.stackexchange.com/q/14953

— アンドラスサラモン

カウント式を取得する方法を説明してもいいですか？3はどこにありますか！などから来る？

— ヤンキングイン

別の初心者の質問：構成（つまり、真理値の割り当て）の総数が場合、これは多くの真理値の割り当てを問題インスタンスで表現できないことを意味します。これは、ブール式が真理値表を表現できるという意味で完全であるという私の知識に反するものです。ここでのキャッチは何ですか？

2^{2^{n}} ≫ 2^{C}

$2^{2^n} \gg 2^C$

— ヤンキングイン

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SATの相転移に関する長い歴史の中で、固定された、満足度を決定するに対する節の数の比率によってパラメータ化されたしきい値があることが示されています。大まかに言って、比率が4.2未満の場合、圧倒的な確率でインスタンスは充足可能です（したがって、これらの多くの句と変数を持つインスタンスの数の大部分が充足可能です）。比率が4.2をわずかに上回っている場合、その逆が成り立ちます-インスタンスの圧倒的な割合は満足できません。 $n$ $n$

参考文献はあまりにも多すぎてここでは引用できません。情報源の1つは、MezardとMontanariの本です。このトピックに関する調査などの情報源がある人は、コメントで投稿したり、この回答を編集したりできます（CWにします）。

参照：
- アクリオプタス調査
- 本当に難しい問題はどこにあるか
- 組み合わせ検索での相転移の改善

— Suresh Venkat
ソース

それはとても興味深いです。「圧倒的な確率」とは何ですか？これは75％ですか、99.9999％ですか？

— フィリップホワイト

正直に言って、覚えていません。スイッチオーバーポイントからの比率の距離によってパラメーター化され、S字型のように機能します（したがって、非常に急速に1になります）。リンクの調査は、おそらくより詳細持つ

— スレシュヴェンカト

1

@ Philip、Suresh：はい、それは非常に急速な「不連続性」です。プロットを見ると、満たされる確率がほぼ1からほぼ0に急激に変化します。しきい値が依存するのは興味深いことです。また、このすべての動作がランダムなインスタンスにのみ当てはまるように見えることも興味深いです。

k

$k$

— ジョルジオカメラニ

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一方では、Sureshのコメントで述べられているように、インスタンスの大部分は満足できません。（実際、このようなインスタンスをランダムに一様にサンプリングすると、変数トリプルの節として8つの否定すべてを含める可能性が十分に高い、つまり、ほとんど満足できないはずです。） $2^{|C|}$

一方、すべてゼロの割り当てで満たされる数で充足可能なインスタンスの数を下限にすることができます。これらはすべてのトリプレット変数についてになります。使用してはならない1つの句です。 $2^{(7/8)|C|}$

次に、これに掛けることで、充足可能なインスタンスの数の上限を設定できます。以来、私はこれが唯一、すでにマイナー次項を変更すると思います... $2^n$ $|C|=O(n^3)$

— マグヌス・ヴァルストローム
ソース

博士課程の研究を初めて開始したとき、SATの条項の数がを超える場合、それらのインスタンスは満足できないことを示しました。また、節の数が間隔、それらのインスタンスは一意に満たされるか、不満。私は私の頭の上の3-SATの派生を思い出しません。わかりました

3^{n} - 2^{n}

$3^n-2^n$

3^{n} - 2^{n} - 2^{n - 1}

$3^n-2^n-2^{n-1}$

<

$<$

n u m b e r o f c l a u s e s

$number of clauses$

\leq

$\leq$

3^{n} - 2^{n}

$3^n-2^n$

— Tayfun支払い

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この回答は、充足可能なインスタンスの数の増加率のみを扱っています。

セット内のnビット文字列の数が（ある定数場合によって制限されている場合、セットは疎です。それ以外の場合は密です。充足可能性（NP完全）と不充足（CoNP完全）は両方とも密集合であることが知られています。場合、スパース完全セットが存在します。 $A$ $O(n^k)$ $k$ $NP$ $P=NP$

— モハマドアルトルコキスタニー
ソース