平面グラフの最大重み接続サブグラフ問題

最大重み接続サブグラフ問題は次のとおりです。

入力：Aグラフ $G=(V,E)$ と重量 $w_i$ （おそらく負）の各頂点の $i \in V$ 。

出力：が接続されるような頂点の最大重みサブセット $S$ $G[S]$

この問題はNP困難です。デビッドS.ジョンソンはページで言及しています。149 この列問題は、すべての重みのいずれかで最大次数3の平面グラフに硬いままであることを $+1$ 、または $-1$ 。

引用された論文が見つからない -A. Vergis、原稿（1983）

どこに紙を見つけるかについてのアイデアはありますか？または削減は何でしたか？

「NP完全性コラム：進行中のガイド」の番号14に、ジョンソンは「... Vergis [49]。GRAPHSのSTEINER TREEからの変換[ND12] ...」と書いています。私はVergisの論文にアクセスできませんが、可能な削減は次のとおりです。

グラフ問題のシュタイナーツリー（ST）

インスタンス：無向グラフ、頂点の部分集合と呼ばれる、端末ノード。非負の整数 $G = (V,E)$ $R \subseteq V$ $k$

質問：のサブツリーがあるのすべての頂点含ま（のためのスパニングツリー）および最大で含まれるエッジは？ $G$ $R$ $R$ $k$

問題は平面グラフでもNPCのままです（M. GareyとD. Johnson。直線のスタイナーツリー問題はNP完全です）。

平面STのインスタンスが与えられたとして、ここではノードに任意の重みを割り当てることができると仮定します。もしおよびは、重量割り当てることができのノードに、あなたが追加できる中間ノードのすべてのエッジに及び割当量、それに。残りのノードに重みを割り当てます。元のグラフは、最大でスパニングツリーがあります。 $|R|=p$ $|E|=q$ $q+1$ $R$ $E$ $-1$ $0$ $V \setminus R$ $G$ $R$ $k$ 変換されたグラフで、かつ以上のターゲットウェイトのサブグラフを見つけることができる場合に限り、エッジ。 $W = p(q+1) - k$

非公式に量に到達するには、サブグラフにすべてのノードを含める必要があります。また、負の重み-1を持つ中間ノード（のエッジに対応）を最大含めて、それらを接続し続ける必要があります。。 $p(q+1)$ $R$ $k$ $G$

このように3つにグラフ全体の最大程度を低減することができる：場合だけ各ノードを変換します $D = \max\{deg(u_i) \mid u_i \in V\}$ の円形の鎖にノード（及びの値を適宜調整してください）。インバウンドエッジをチェーンの個別のノードに接続します（次数3になります）。 $u_i$ $D$ $p$

そして、あなただけの重みを使用したい場合はあなた必要があります：（A）アサインのノードに対応する円形チェーンのすべてのノードに、（B）リニアチェーンにすべての中間ノードを変換します重量のノードのと長さ $+1,-1$
$+1$ $V\setminus R$
$-1$ $l_E = |V\setminus R|+1$ 、および
（C）のノードに対応する円形チェーン（重み+1）を少なくとも長ささらに拡張する $R$ ; そして、目標重量ます。非公式に、拡張されたチェーンと新しいターゲットは、（ポイントA）に対応するノードの重みを無関係にします。 $l_R = l_E( |E| + 1)$ $W =pl_R - kl_E$
$+1$ $V \setminus R$

— マルツィオデビアシ
ソース

NP硬度ガジェットの設計が非常に早いです。

— Suresh Venkat 2014年

@SureshVenkat：しかし、それが正しいかどうかはまだわかりません：-S。ただし、「ホイールの再発明」（RTW）の削減にも特化しています:-)。さらに、yEdを使用すると、数分でグラフを描画できます... tikzitを使用すると、何時間もかかります:)。

— Marzio De Biasi 2014年

満足のいく課題がある場合、どのようにそれが接続されていることを確認しますか？

— オースティンブキャナン

@AustinBuchanan：証明全体を変更しました...機能するかどうかを確認します

エッジでパッチされた以前のエッジは正しかったが、平面グラフを保証していません:-)

(y_{i}, y_{i + 1})

$(y_i,y_{i+1})$

— Marzio De Biasi