任意の対称関数をだます

分布は、場合、関数を -foolすると言われます。そして、そのクラスのすべての関数をだます場合、関数のクラスをだますと言われています。 -biasedスペースは、サブセット上のパリティのクラスを欺く ことが知られています。（このようなスペースの素晴らしい構造については、Alon-Goldreich-Hastad-Peraltaをご覧ください）。私が尋ねたい質問は、これを任意の対称関数に一般化することです。$\mathcal{D}$$\epsilon$$f$$|E_{x\in U}(f(x)) - E_{x\in \mathcal{D}}(f(x))| \leq \epsilon$

$\epsilon$

質問：いくつかのサブセットで任意の対称関数のクラスを使用すると仮定しますが、このクラスを欺く（小さなサポート付きの）分布がありますか？

いくつかの小さな観察：

• 正確なしきい値を欺くだけで十分です（は、がのインデックスの中に正確に場合にのみ1です）。これらの正確なしきい値を -fools する分布は、ビットですべての対称関数をだまします。（すべての対称関数は、これらの正確なしきい値の実際の線形結合として書くことができるので、これは組み合わせの係数は、期待の0または1の直線どこその後、我々が望むものを私たちに与えている） （同様の議論は、一般的なしきい値のために働きますは、に少なくともがある場合にのみ1です$\text{ETh}^S_k(x)$$x$$k$$S$$\epsilon$$n\epsilon$$n$
  
  $\text{Th}^S_k(x)$$x$$k$のインデックスの中のもの）$S$

• LOGSPACE用のNisanのPRGを介したサポートをた明示的な配布の構築があり。$n^{O(\log n)}$

• 任意の -biasedスペースは機能しません。たとえば、がの数が0以外のmod 3であるようなすべてののセットである場合、これは実際には（Arkadev Chattopadyayの結果から）非常に小さなに対して -biasedです。しかし、明らかにこれはMOD3機能をだますことはありません。S x ϵ $\epsilon$$S$$x$$\epsilon$$\epsilon$

興味深いサブ問題は次のようになります。すべてのn個のインデックスに対して対称関数をだましたいとしますが、すてきなスペースがありますか？上記の観察により、ビットのしきい値関数をだます必要があります。これは、n + 1関数のファミリーです。したがって、ブルートフォースによって分布を選択できます。しかし、すべてのk に対して Th [ n ] kをだますスペースのより良い例はありますか？$n$$n+1$$\text{Th}^{[n]}_k$$k$

はい、この問題に対する一般的な解決策は、最近パリクシットゴパラン、ラグーMeka、オーマー・レインゴールド、そしてデビッド・ズッカーマンによって与えられた、見組み合わせシェイプのための疑似乱数ジェネレータを。

その論文は、ジェネレーターがlog mビットブロックを出力するさらに一般的な設定を処理し、それが任意のブール関数に供給され、そのn出力がブール対称関数に供給されます。$n$ $\log m$$n$

さまざまなサブケースがすでに知られています。例として、モジュラー和、バウンド独立フール、ハーフスペース、および多項式しきい値関数用の疑似乱数ジェネレーターをだます疑似乱数ビットジェネレーターを参照してください。最初は、モジュロ合計を処理します。2番目と3番目は、前述のしきい値テストを正確に処理しますが、すべての対称関数の結果を得るために推論を適用するには、エラーは十分ではありません。$p$