述語のUGC硬度のための？

背景：

Subhash KhotのオリジナルのUGC論文（PDF）で、彼は、三項アルファベット上のNot-all-equal（a、b、c）のすべての形式の制約を持つ特定のCSPインスタンスが1を満たす割り当てを認めるかどうかを決定するUGの難しさを証明しています- 制約の、または任意の小さな場合、制約のを満たす代入が存在しないかどうか。$\epsilon$ϵ>$\frac{8}{9}+\epsilon$$\epsilon > 0$

私は、この結果は、任意の組み合わせのために一般化されているかどうか興味がのための進制約とサイズの可変ドメインどこ。あれは、ℓ ≥ 3 K ≥ 3 ℓ ≠ K ≠ $\ell$$\ell \ge 3$$k \ge 3$$\ell \ne k \ne 3$

質問：

述語の近似結果のいずれかの既知の硬さがあるのための用と？ xはI ∈ G F （K ）ℓ 、K ≥ 3 ℓを$NAE(x_1, \dots, x_\ell)$$x_i \in GF(k)$$\ell, k \ge 3$$\ell \ne k \ne 3$

値の組み合わせ特に興味があります。例えば、-すべて等しくない述語（）のための。X 1、··· 、X K X 1 ··· 、X K ∈ G F （K $\ell = k$$x_1, \dots, x_k$$x_1 \dots, x_k \in GF(k)$

上記で主張したことが実際に知られていることに気付きました。

以下のためのと任意、これはKhotのFOCS 2002紙「3-彩色3均一ハイパーグラフを着色の硬さ」（紙が実際に一般について語っているタイトルがわずか3彩色について語っても、場合）。K ≥ 3 $\ell = 3$$k \ge 3$$k$

用と、実際に強い硬度が知られています。実際、すべてのNAE制約を満たす変数に2つの値のみが割り当てられている場合（つまり、 ell-均一ハイパーグラフは、単色ハイパーエッジなしで2色を使用して色付けすることができます）、NPを見つけるのは困難です少なくとも NAE制約を満たすドメインサイズからの割り当て（任意の定数$\ell \ge 4$$k \ge 2$$\ell$$k$$1-1/k^{\ell-1}+\epsilon$$\epsilon > 0$）。これは、ハイパーグラフ2色の既知の近似不可能性の結果が健全性の場合に強い密度ステートメントを与えるという事実から簡単に得られます。正式な声明は、アリ・シノップのSODA 2011論文「低彩度数の有界度（ハイパー）グラフで独立集合を見つけることの複雑さ」（SODA最終バージョンの補題2.3、およびECCCで入手可能な旧バージョンの補題2.8）に掲載されていますhttp://eccc.hpi-web.de/report/2010/111/）。

私はNAE-3SATに関する検索からこのページに行きました。

私はかなり確信して、あなたが求めている問題のために、あるべきことだNP-ハードインスタンスが充足可能ならば伝えるために、または最大であれば制約の割合を満たすことができます。つまり、満足のいくインスタンスであり、UGCの必要がない場合、厳密な結果が得られます（ランダムな割り当てを選択するだけで達成されるものと一致します）。$1-1/k^{\ell-1}+\epsilon$

以下のためにとℓ ≥ 4、これはHastadの因子7月8日+（その後のためにK-セット分割にすることができる4組の分割のためのイプシロンinapproximability結果から以下のK > 4）。否定は大丈夫であれば、1にもマックス（のための彼のタイトな硬さの結果を使用することができますℓ - 1 -SAT）。$k=2$$\ell \ge 4$$k > 4$$\ell-1$

以下のため、KhotはFOCS 2002紙でこのことを証明した"3-彩色3均一ハイパーグラフを着色の硬さ。" （つまり、彼は元のUGCの仮定を削除しました。）$k=\ell=3$

と任意のk ≥ 3、Engebretsenと私は「？。：150から178（2004）は必ずしも容易で二つの変数を超える制約充足ランダム構造体アルゴリズム25（2）は、」このような結果を証明しました。しかし、私たちの結果には「折り畳み」が必要だったと思います。つまり、いくつかの定数a 、bに対して、制約は実際にはNAE（x i + a 、x j + b 、x k）の形式になります。（これは、ブール変数の否定を許可することに似ています。）$\ell=3$$k\ge 3$$x_i+a,x_j+b,x_k$$a,b$

一般的な場合、これがどこかに書き留められているかどうかはわかりません。しかし、本当に必要な場合は、おそらく何かを見つけるか、主張を確認することができます。

STOC'08 Best Paperの Prasad Raghavendraは、Unique Games Conjectureを想定して、単純な半正定値プログラミングアルゴリズムが、それぞれ一定の変数数と一定のアルファベットの制約を持つ制約充足問題（NAEを含む）に最適な近似を与えることを証明しました。実際にNAEの硬度係数を知るには、単純なアルゴリズムがNAEにどの程度役立つかを理解する必要があります。つまり、プログラムの積分ギャップを証明する必要があります。誰かがすでにNAEのためにそれを完全な一般性でそれをしたかどうかはわかりません。