2つの順列の違いを認識する完全性

Shorは、この質問に対する匿名のムースの答えに対するコメントで、多項式時間で2つの順列の合計を特定できますか？、2つの順列の違いを識別するのは完全である。残念ながら、順列和問題からの直接的な減少は見られず、順列差問題に対して完全性の減少があると便利です。 $NP$ $NP$

順列差：

インスタンス：正の整数の配列。 $A[1...n]$

QUESTION：ない2個の順列が存在すると正の整数のなどのための？ $\pi$ $\sigma$ $1,2, ... , n$ $|\pi(i) - \sigma(i)| = A[i]$ $1 \le i \le n$

2つの順列の違いを認識する完全性を証明するための削減は何ですか？ $NP$

EDIT 10-9-2014：Shorのコメントは、シーケンスの要素が符号付き差分である場合に完全性を証明する縮約を与えます。ただし、すべての要素が差の絶対値であるという問題を簡単に減らすことはできません。 $NP$ $A$ $A$

更新： ~~2つの順列のうちの1つが常に恒等置換であっても、~~順列差の問題は完全であるようです。この特殊なケースの硬度証明は大歓迎です。だから、私はこの制限されたバージョンの完全性に興味があります： $NP$ $NP$

制限された順列の違い： インスタンス：正の整数の配列。 $A[1...n]$

~~質問：が存在する順列正の整数のなどのための？ $\pi$ $1,2, ... , n$ $|\pi(i) - i| = A[i]$ $1 \le i \le n$~~

更新2：制限された問題は、mjqxxxxの答えが示すように効率的に決定できます。元の問題の計算の複雑さは証明されていません。

EDIT 9/6/16：私はこの順列差の単純化がNP完全であるかどうかを決定することに興味があります：

制限された順列の違い：

INSTANCE：正の整数のマルチセット $A$

QUESTION：DOESが存在する順列正の整数のは？ $\pi$ $1,2, ... , n$ $A= \{|\pi(i) - i| :1 \le i \le n\}$

— モハマドアルトルコキスタニー
ソース

ピーターに直接聞いてみませんか？@Peter

— caozhu

電子メールという意味ですか？私はそれを行います。

— モハマドアルトルコキス

私は何かを見逃しているかもしれませんが、この問題を2-SATとして表すことはできないので、ポリタイムで解決できますか？WLOGは、順列の1つが恒等式であると仮定できます（ここではA [i]が周期的に計算されると仮定しています。それは大したことでしょうか？）、2番目の行列を行列

。順列行列とは、2つの変数が行または列に存在しないことを示す2つの変数の節の結合です。そして、i（pi）とi（i）の位置の違いはA [i]であると言うことは、2つの可能な場所のORです。

x [i, j]

$x[i,j]$

— Noam 14

@Noamコメントありがとうございます。面白いアイデア。私はそれを考えていませんでした。しかし、それが多項式時間アルゴリズムにつながるかどうか、特に差の絶対値のみが与えられることは私には明らかではありません。

— モハマドアルトルコ

はい、ギャップを周期的にカウントするか絶対値でカウントするかの違いが問題になるようです。

— ノーム14

回答:

順列の1つが恒等式であるという制限された問題は、確かにます。二部グラフを構築する場合、各頂点の要素（複数可）に接続されているよう。次に、望ましい置換 $\mathsf{P}$ $i \in V_1=\{1,2,\ldots,n\}$ $j \in V_2=\{1,2,\ldots,n\}$ $|i-j|=A[i]$ $\sigma$ グラフが完全な一致（つまり、エッジとの一致）を持ち、多項式時間で決定できる場合にのみ存在します。 $n$

— mjqxxxx
ソース

何かが足りないかもしれませんが、完璧なマッチングはうまくいきません。制限付き完全一致の存在を証明する必要があります。入力配列

2回出現する整数

を考えます。順列に対応する完全一致には、絶対差

2つのエッジが必要です。アルゴリズムは、そのような制限付きマッチングの存在を証明しません。これが問題を困難にし、おそらくNP完全にするものです。

k

$k$

A

$A$

k

$k$

— モハマッドアルトルコ

MohammadAl-Turkistany @：私は場合と思わ

、次に

ノードに連結されて

A [i] = A [j] = k

$A[i] = A[j] = k$

u_{i}, u_{j} \in V_{1}

$u_i, u_j \in V_1$

v_{i + A [i]}, v_{i - A [i]}, v_{j + A [j]}, v_{j - A [j]} \in V_{2}

$v_{i+A[i]},v_{i-A[i]},v_{j+A[j]},v_{j-A[j]} \in V_2$ 絶対差を持つ

。完全一致には、

からの少なくとも1 つのエッジと

からの1つのエッジが含まれます。元の問題について考えながら数回前に同じ結論に達しましたが、別の方法に従っています：制限された問題を2-SAT式として定式化するのは簡単であることがわかりました（必要に応じて答えを追加できます）、mjqxxxxのアイデアの方が優れています）。

k

$k$

u_{i}

$u_i$

u_{j}

$u_j$

— マルツィオデビアシ14

@MarzioDeBiasiなぜこのアプローチ（およびあなたのアプローチ）が元の（無制限の）問題に対して機能しないのですか？

— モハマドアルトルコ

@mjqxxxあなたのアプローチは制限されたケースを解決することがわかります。元の問題を効率的に解決するために拡張できないのはなぜですか？

— モハマッドアルトルコ

i

$i$

δ_{i} (n) \to (π_{i} (n + A [i]) \lor π_{i} (n - A [i]))

$\delta_i(n) \to (\pi_i(n+A[i]) \lor \pi_i(n-A[i]))$

$\{1,2,3,\ldots,n\}$ $\{1,2,4,8,\ldots\}$ $\pi$ $A = \{|\pi(2^k) - 2^k| : 2^k \in \Omega\}$ $\Omega$ $A$ $2^{k_1}-2^{k_2}$ $k_1,k_2$ $k_1\ne k_2$ $k_1$ $k_2$ $|2^{k_1} - 2^{k_2}|$ $A$ $\pi(2^{k_1}) = 2^{k_2}$ $\pi(2^{k_2}) = 2^{k_1}$

$G = (L \sqcup R, E)$ $L$ $R$ $(2^{k_1},2^{k_2})$ $(2^{k_2},2^{k_1})$ $|2^{k_1} - 2^{k_2}|$ $A$ $k_1 \ne k_2$

順列があります $\pi$ $A$
$G$

$1 \implies 2$ $2 \implies 1$ $G$ $L$ $R$ $G$ $G$ $\pi$ $L$ $R$

上記のアルゴリズムを完全に一致する質問として表現できますが、2-SATには他にも削減があると思います。しかし、これらのアプローチを元の問題に拡張する方法はわかりません。

— アンドリュー・モーガン
ソース