TCS外の複雑性理論推測の数学的意味

数学の他の分野の複雑な理論における（標準）推測の興味深い結果を知っていますか（つまり、理論的なコンピューターサイエンス以外）。

私は答えを好むでしょう：

• 複雑性理論の推測は可能な限り一般的かつ標準的です。特定の問題の難しさの結果でも問題ありませんが、問題が広く困難であると広く信じられている（または少なくとも数件の論文で研究されている）

• 含意は、無条件に真実であることが知られていない声明であるか、または他の既知の証明がかなり難しい

• 接続が驚くほど優れている。特に、含意はアルゴリズムについて明示的に述べるべきではありません

「豚が飛べば馬が歌う」タイプの接続も、空飛ぶ豚が複雑性理論に由来し、歌う馬がコンピュータサイエンス以外の数学の分野から来ている限り、問題ありません。

この質問は、ある意味では、コンピューターサイエンスにおける数学の驚くべき使用法についての質問の「逆」です。Dick Liptonは、これらの行に沿って正確にブログ投稿を行いました。彼は、ファクタリングには回路の複雑さが大きいという推測の結果について書いています。その結果、特定のディオファントス方程式には解がなく、無条件で証明するのが非常に困難な一種のステートメントがあります。投稿はDan Bonehとの共同作業に基づいていますが、論文を見つけることができません。

編集： Josh Grochowがコメントで述べているように、古典数学へのTCSの適用に関する彼の質問は密接に関連しています。「古典的な数学」の制限を主張しないので、私の質問は、一方で、より寛容です。もっと重要な違いは、TCS以外の数学の分野での複雑な推測からステートメントへの証明された含意を主張することだと思います。ジョシュの質問に対する答えのほとんどはこのタイプのものではありませんが、代わりにTCSによって開発またはインスピレーションを受けた古典的な数学に役立つテクニックと概念を提供します。それでも、ジョシュの質問に対する少なくとも1つの答えは、私の質問に対する完璧な答えです。マイケル・フリードマンの論文これは私の質問と同じ質問に動機付けられ、結び目理論の定理を証明し、ます。彼は定理が結び目理論の現在の技術の範囲外であるように思われると主張します。戸田の定理により、場合、多項式階層が崩壊するため、仮定は非常に妥当です。他の同様の結果に興味があります。P ＃P = N $\mathsf{P}^{\#P} \ne \mathsf{NP}$$\mathsf{P}^{\#P} = \mathsf{NP}$

グラフ理論の別の例を次に示します。グラフマイナー定理は、未成年者の下で閉じられている無向グラフのクラスごとに、グラフがような有限の障害セットがあることを示していますマイナーとしてグラフが含まれていない場合にのみ。ただし、グラフのマイナー定理は本質的に非構成的であり、これらの障害セットの大きさ、つまり特定の選択に対して含まれるグラフの数については何も教えません。O b s （G ）G O b s （G ）$\mathcal{G}$$\mathcal{Obs(G)}$$\mathcal{G}$$\mathcal{Obs(G)}$$\mathcal{G}$

非常に多くの小注文障害物、マイケルJ. Dinneenはもっともらしい複雑理論的予想の下で、このような閉塞セットのいくつかのサイズが大きいことを示すことができることを示しました。たとえば、最大の属のグラフのパラメータ化されたクラスを考えてみましょう。上昇、我々は閉塞セット期待できるますます複雑になることが、どのくらいのように？Dinneenは、多項式階層が3番目のレベルに崩壊しない場合、の障害物の数がによって制限されるような多項式がないことを示しました KK O B S（ G K）のP OのB S（ G、K）P（K） OのB S（ G 0）={ K 5、 K 3 、3 } G K KG∈ G$\mathcal{G}_k$$k$$k$$\mathcal{Obs}(\mathcal{G}_k)$$p$$\mathcal{Obs}(\mathcal{G}_k)$$p(k)$。属0を持つ（つまり平面である）ための小さな障害の数は2つだけなので（）、この超多項式成長すぐには明らかではありません（無条件に証明できると思いますが）。Dinneenの結果についての素晴らしい事は、それが対応する障害物セットのサイズに適用されるということである任意のマイナーの理想のパラメータ化セット最小決定するためれる NP-ですハード; そのようなパラメータ化されたマイナーな理想のすべてにおいて、障害物セットのサイズは超多項式的に増加しなければなりません。 $\mathcal{Obs}(\mathcal{G}_0) = \{K_5, K_{3,3}\}$$\mathcal{G}_k$$k$$G \in \mathcal{G}_k$

次に例を示します。Arora、Barak、Geによる金融商品の計算の複雑さと情報の非対称性は、デリバティブの価格を計算するのに計算上扱いにくい（NP困難）ことを示しています。

同じ行に沿って、はるか以前には、バルトルディ、トービー、およびトリックによる選挙操作の難しさに関する有名な論文があります。

Sashoが示唆したように、「古典数学へのTCSの応用」という質問に対する私の答えは次のとおりです。

Qi Chengは、彼の論文 『直線プログラムと楕円曲線上のねじれ点』で、 Bürgisserの予想（ShubとSmaleの tau-予想¹の変形）を、楕円曲線の分野のTorsion定理とMasserの定理に関連付けています。$L$$\tau$

非常に大雑把に言えば、予想が真（またはそれのより弱いバージョン）であれば、これら両方の定理を「簡単に」推測できます。元の証明ははるかに困難です。$L$

¹予想は、多項式がサイズ定数のない直線プログラム（または算術回路）を持っている場合、その整数根の数は絶対値に対して最大定数。P τ （1 + τ ）C$\tau$$p$$\tau$$(1+\tau)^c$$c$

複雑な理論的予想を使用して、たとえば対称グループの表現理論などについて証明できます（このブログ投稿を参照）。対称グループの単語問題ので大まかに言えば、ハードCONPあり、より任意小さな寸法の忠実な（すなわち、単射）表現を持つことができないがない限りSATには、指数以下のサイズの回路があります。 S 2 のk 2 δ $S_{2^k}$$S_{2^k}$$2^{\delta k}$

これは、前述のマイク・フリードマンの論文の精神に非常に忠実です。

多くのTCS複雑度クラス分離の質問は、数学に大きな意味を持っているようです。特にP =？NPの質問は多くの分野で非常に深いつながりがあるようで、これには数学が含まれます。この分野で注目すべき事例：

• 20世紀初頭に定式化されたHilberts Nullstellensatz問題は、たとえばShub / SmaleによるHILBERTのNULLSTELLENSATZおよび「NP̸= P？」の代数的バージョンのように、P対NPの複雑さに密接に関連する扱いやすさを持つことが示されています。これは、たとえば、コンピュータ代数、組み合わせ論、および複雑性に関する研究の継続的な分野です。ヒルベルトのヌルステルレンサッツと MarguliesによるNP完全問題。

• ファギンズ定理（ウィキペディア）：

  Faginの定理は、記述的複雑性理論の結果であり、実存的な2次論理で表現可能なすべてのプロパティのセットは、複雑性クラスNPであると述べています。これは、チューリングマシンなどの計算モデルを呼び出さないクラスNPの特性評価であるため、注目に値します。

  ここでP = NPの主要な/驚くべき意味は、すべての2次論理アサーションを効率的に計算できることを意味します。

• 別のケースは、数学的な用語でのみ述べられているさまざまなNP完全問題があることです（たとえば、TM、非決定論などのTCS概念への参照なし）。グラフ理論が（かなり合理的に）数学と見なされる場合、このリストは非常に大きくなる可能性があります。しかし、「数学的」の狭い解釈でさえ、例えば数論の場合をもたらします。

  MandersとAdlemanによって証明されたように、次の問題はNP完全です。自然数与えられると、ような自然数が存在するかどうかを決定します。、X ≤ C X 2 ≡ $a,b,c$$x\le c$$x^2\equiv a\pmod b$

  • 自然にNP完全な自然の問題はありますか？tcs.se
  • 数論とNP完全な数学オーバーフロー