PHにあることが知られていないが、P = NPの場合はPになる決定問題

編集：Ravi Boppanaが彼の答えで正しく指摘し、Scott Aaronsonも彼の答えに別の例を追加したので、この質問への答えは私がまったく予想しなかった方法で「はい」であることが判明しました。最初に私は彼らが私が尋ねたかった質問に答えなかったと思ったが、いくつかの考えの後、これらの構造は私が尋ねたい質問の少なくとも1つに答えます、つまり、「条件付きの結果を証明する方法はありますか？」 = NP⇒ L ∈Pは」無条件の結果を証明せずにL ∈PHの？」のおかげで、ラヴィとスコット！

次の条件が両方とも満たされるような決定問題Lがありますか？

• Lは、多項式階層にあることは知られていません。
• P = NPが暗示することが知られているL ∈Pを。

人為的な例は自然な例と同じくらい良いです。また、「L」という文字を使用していますが、役立つ場合は言語ではなく約束の問題になる可能性があります。

背景。我々は決定問題のことがわかっている場合はLは多項式階層である、そして我々はその「P = NP⇒知っL ∈Pを。」質問の意図は逆が成立するかどうかを尋ねることです。上記の2つの条件を満たす言語Lが存在する場合、逆が失敗した証拠と考えることができます。

この質問は、ウォルター・ビショップの質問「#P = FPの結果」に対する私の答えに対するジョー・フィッツシモンズの興味深いコメントが動機となっています。

$L$

人工的な例が本当に自然な例と同じくらい良い場合、私は実際にそのような例を提供することができます！

$x \in$

$M_1, M_2, ...$$n$$M_{t(n)}$$M_i$$n$$x$$n$$x \in$$x$$n^{t(n)}$ 空のテープで実行した場合の手順。

$\in$

$M_i$$t(n) \le i$$n$

$\ne$$\notin$

$t(n)$

$\ne$

$\ne$

$L$$P = NP$$L \in P$$P \neq NP$$L \notin PH$

$M_1, M_2, M_3, \dotsc$$t(n)$$L$$\Sigma_{k} SAT$$k$$t(n) \to \infty$$P \neq NP$$s=(i,j)$$\Sigma^* \to \Sigma^* \times \Sigma^*$$M_i$$L$$\Sigma_{j} SAT$$n_{s}$$t(n_{s}) > t(n_{s-1})$$n_{0} = 1$$n_{s}$$L(1^{n_{s}}) = 1 - \Sigma_{k}SAT(M_{i}(1^{n_{s}}))$$n_{s}$$L$

$P \neq NP$$t(n) \to \infty$$n \to \infty$$n_{s}$$L$$PH$$P = NP$$L$$L$$P$