グラフ同型に関連する未解決の問題

現在、グラフ同型（GI）問題に関する文献調査を行っています。

以下に関連するいくつかの未解決の質問を知りたい

1. GIの固定パラメータの扱いやすさが未解決の問題であるグラフパラメータは何ですか。

2. GIの多項式時間可解性を固定することにより、グラフパラメーターは何であるかは不明です。

3. 多くのグラフクラスに制限された場合のGIの複雑さは、一般的なGI（GI-Completeness）と同等です。GI完全性が不明なグラフクラスとは何ですか。

ありがとうございました。

最初の質問：グラフ同型は、少なくとも固定パラメーターの扱いやすさが開いている次のパラメーターについて考慮されています。

• pathwidth / treewidth（[2]を参照、ここで質問されています）、多分解決されます：http : //arxiv.org/abs/1404.0818
• カット幅/帯域幅[1]
• treewidth-k頂点削除セットサイズ（[7]のフィードバック頂点セット番号）
• ツリー/パスの距離幅（[1]を参照）、接続されたツリーの距離幅（[3]を参照。ただし、最後のものにかなり近づけることができます。私の卒業論文のセクション6.4を参照）：Y. Otachi and P Schweitzer：http : //arxiv.org/abs/1403.7238
• クリーク幅/低木の深さ（またはSCの深さ）（[ 4 ]を参照）
• 最大学位[5]
• 属[6] /交差数[8]

いくつかの研究が活発に進行中であることに注意してください。

[1]：K.山崎、HL Bodlaender、B。de Fluiter、およびDM Thilikos。制限された距離幅のグラフの同型。Algorithmica 24.2（1999）

[2]：HLボドレンダー。グラフ同型とpartialk-treeの色指数のための多項式アルゴリズム。Journal of Algorithms 11.4（1990）

[3]：Y.オオタチ。有界接続パス距離の幅のグラフの同型。アルゴリズムと計算。スプリンガー、2012

[ 4 ]：http : //www.fi.muni.cz/~hlineny/res-en.html#recent

[5]：L.ババイとEMルクス。グラフの標準的なラベル付け。STOC '83。

[6]：フィロッティとJNメイヤーです。固定属のグラフの同型を決定するための多項式時間アルゴリズム。STOC '80 / G.ミラー。有界属のグラフの同型テスト。STOC '80

[7]：S. KratschおよびP. Schweitzer。有界フィードバック頂点セット番号のグラフの同型。SWAT 2010

[8]：http : //math.mit.edu/news/summer/SPURprojects/2012Velednitsky.pdf

2番目の質問：ランク幅の修正（同様に、クリーク幅の修正）では、GIの多項式時間可解性は不明です。最近、MamadouKantéは、有界線形ランク幅のグラフのグラフ同型問題を多項式時間で解決できるかどうかという未解決の問題を提起しました。

3番目の質問：Brandstadt、Le、およびSpinradの調査論文、Graph Classes：A Survey、SIAM、1999年には、GI完全性が不明ないくつかのグラフクラスが含まれています。そのようなクラスの1つが台形グラフです。もう1つのクラスは、上原による論文「幾何学的交差グラフのTractabilitiesおよびIntractabilities」の導入で未解決の問題として言及されている円弧グラフです。

編集：トーナメントのグラフ同型問題は、GI完全であることが知られていません。

3番目の質問については、www.graphclasses.orgをご覧ください。Javaアプレットを起動し、問題->境界/未解決問題->グラフ同型を選択します。

GIの問題ステータスがISGCIに不明なグラフクラスの膨大なリストが表示されます（PまたはGI完了の可能性があります）。おそらくそれらのうちのいくつかについては、GI完全性はすでに解決されているか、単にまだ研究されていない。しかし、それらについての論文を検索するための良い出発点です。