ガワーズの「離散ボレル決定性」アプローチ

Gowersは最近、「離散ボレル決定性」と呼ばれる問題の概要を説明しました。この解決策は、回路の下限の証明に関連しています。

1. 複雑性理論家の聴衆に合わせたアプローチの要約を提供できますか？

2. 既知の下限を再検証するなど、このアプローチが何かを証明するには何が必要ですか？

アプローチの動機についての私の理解の要約をさせてください。ボレルの決定性の概念はかなり新しいものであり、集合論の専門家ではないことに注意してください。すべての間違いは私のものです。また、これを読むことは、ガワーズの投稿を読むことよりもはるかに優れているかどうかもわかりません。

ガワーズが念頭に置いているのは、ボレルの決定性定理の最終的な類似物ではなく、以下の最終的な類似物だと思います：ZFCからボレルの決定性が続きますが、分析ゲームの決定性には（本質的に）測定可能な基数の存在が必要です。私たちが話しているゲームとBorelの決定性について簡単に説明し、それから下限を証明するアプローチと結び付けます。非常に高レベルのアイデアは、プロパティを「ボレルの決定性の証明の最終的な類似物が機能することを許可する」とP \ polyをNPから分離できるプロパティと見なすことです。

2人のプレイヤーIとIIが交互に整数を「プレイ」するゲームを考えます。ゲームは永遠に続くため、シーケンス。ゲームは勝利セットで定義されたA ⊆ N N（シーケンスのすなわちセット）。もしX ∈私は、そうでないプレイヤーII勝利を獲得し、その後プレイヤー。$x= x_1, x_2, \ldots$$A \subseteq \mathbb{N}^\mathbb{N}$$x \in A$

プレイヤーIまたはプレイヤーIIのいずれかが勝利戦略を持っているかどうかでゲームが決定されます。これは、勝利を保証するこれまでのプレイに基づいて次の動きを決定する方法です。すべてのゲームが決定されるかどうかは、セット理論の基礎と密接な関係があることがわかります（選択の公理を信じている場合はそうではありません）。ときどのような場合には、ゲームが実際に決定された1つの単純な例ではある上の製品トポロジで開いているN N言うの空想の方法があり、その会員のx ∈ Aが唯一の有限個の要素に基づいて決定することができます$A$$\mathbb{N}^\mathbb{N}$$x \in A$$x$。例えば、私が最初に偶数をプレイした場合に私が勝つプレーヤーのゲームは開いています。決定したゲームのもう一つの簡単な例では、閉じたゲーム、すなわちゲームである有限のサブシーケンスに基づいて決定することができるX。クローズドゲームは、プレイヤーの役割を逆にしたオープンゲームです。$x \not \in A$$x$

これでボレルの決定性に到達することができます。すぐにこれを回路と複雑さに結び付けようとします。Borelセットは、カウント可能な数のユニオンとインターセクションを繰り返し適用することにより、オープンセットとクローズセットから派生できるセットです。オープンセットとクローズセットを基本セットとして、ボレルセットを各レベルで「少数」（=カウント可能）数の単純な操作のいくつかのレベルを使用して基本セットから派生したものと考える必要があります。Borelセットが決定されていることをZFCで証明できることがわかり、これがあなたにできる最善の方法であるという正確な感覚があります。

Gowersがここで描いていると考えるアナロジーは、Borelセットは小さな回路のようなものだということです。有限の世界では、私たちは「宇宙」置き換えるハイパーキューブにより、{ 0 、1 } n個。我々の基本的なセットは、キューブのファセットになる：{ X ∈ { 0 、1 } N：xはiは = B }のためのB ∈ { 0 、1 }。これらはリテラルと同等であるxはIとˉ X$\mathbb{N}^\mathbb{N}$$\{0,1\}^n$$\{x \in \{0,1\}^n: x_i = b\}$$b \in \{0,1\}$$x_i$$\bar{x}_i$。リテラルのANDおよびORは、そのようなセットのユニオンおよびインターセクションとして記述できます。だから、ブール関数の、製造することができるfは- 1（1 ）のうちSの基本セットの組合と交差サイズを有すると同等であるのための回路Fを。$f:\{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}$$f^{-1}(1)$$s$$s$$f$

分析セットについて説明します。解析集合はボレル集合の投影である：場合その後、ボレル集合であり、T = { X ：∃ Y （X 、Y ）∈ Sが}解析です。Borelセットと回路の複雑さが小さい関数との対応により、分析セットはNP / polyのようになります。$S \subseteq X \times Y$$T = \{x: \exists y\ (x,y) \in S\}$

今、彼はボレルの決定性の証明からインスピレーションを引き出して、小さな回路の複雑な機能を大きな回路の複雑な機能と区別するためのプロパティ（Razborov-Rudichの意味）を考え出しました。もちろん、この施設が自然な証明の障壁を回避することを期待しています。

ボレル決定性のマーティンの証拠は、概念的には非常に巧妙なアプローチを使用しています：マーティン・ショーをあらゆるボレルゲームは、地図の下に（事実clopenで）オープンゲームの画像であることをだから、$\pi$$\pi$勝利戦略を維持します-これを「リフト」と呼びましょう。したがって、Martinが示すのは、各Borelゲームは、勝利セットが基本セットであるゲームのイメージであるということです。オープンゲームは簡単に決定されるので、ボレルの決定性を証明しています。この証明は帰納的であり、クローズドゲームを解除できることをベースケースが示しています。重要な部分は、誘導の各ステップが宇宙を「吹き飛ばす」ことです。ボレルセットの構築の1レベルを取り除くには、元のゲームの宇宙のパワーセットである宇宙上のゲームにゲームを持ち上げる必要があります。 。興味深いことに、これは避けられません。定義するためにより多くのレベルを必要とするボレルセットは、はるかに大きな宇宙のゲームにのみ持ち込めます。分析セットには、非常に大きなユニバースが必要であるため、その存在には大きな基数公理が必要です。

$x$$f(x) = 1$$f$$f$$f$$f$

$y \in U$$U$$2^n$$y$

$f$