UPクラスの直観

UPクラスは次のように定義されます。

NPマシンによって解決可能な決定問題のクラス

答えが「はい」の場合、正確に1つの計算パスが受け入れられます。

答えが「いいえ」の場合、すべての計算パスが拒否されます。

私はこの定義の直感を開発しようとしています。

UPの問題はユニークなソリューション（たとえば素因数分解）の問題であると言えますか？

それは私にとって真実に近いようです。UPは場合と、Pが含まれており、NPに含まれているので、私はそれは、ヘルプ思考を意味しないことをP = NP、我々はそれを取得したいP = UP = NPのすべての問題はので、NP証明可能なもののように真実ではないと思われるだけでなく、独自のソリューションを、持っている：P != NPでreductio ad abdardum。この段落には、あなたの好みに合った推測や手振りがあまりないことを願っています。

cc.complexity-theory complexity-classes

— ヴァリヤ
ソース

「一意のソリューション」の定義には問題があります。たとえば、パリティゲームの解決はUP（実際にはUP coUP）ですが、多くの勝利戦略が存在する可能性があります。ユニークな証人はより複雑です。

\cap

$\cap$

— ショール

hm、つまり、非決定論的チューリングマシン用のアルゴリズムがあるということです。これは「非決定論的にすべての解を試す」ではありません（n.-dのNPの定義の等価性の中心にある考えだと思います。 d。Tm）、しかし、より洗練されたもので、常に多くの可能性からユニークな結果を導きます...そうですか？それを述べる別の方法はありますか、例えば、決定論的なTmのアイデアのみを使用します（それだけを使用してNPを定義できます）。

— valya

ユニークな目撃者の直感は正しいですが、すべての NTMがユニークな実行を持っているという意味ではないため、慎重に使用する必要があります。

— ショール

この質問が大好きです！私はまったく同じ混乱を経験しましたが、この混乱をP！= NPであるという簡単な証明に変換する賢い方法は見当たりませんでした。よくやった！

— ビンセント

ところで、最後のコメントからの質問は、UPクラスのWikipediaページで回答されました

— ビンセント

回答:

あなたの混乱は、問題が「解決策」（または証人）を定義する複数の方法を持っているという事実をめぐって行われているようです。ソリューションのタイプは、問題の定義の一部ではありません。たとえば、グラフの色付けの場合、明らかなタイプのソリューションは、各頂点に1色を割り当てることです（必要な数の色を使用します）。ただし、Gallai–Hasse–Roy–Vitaverの定理により $\mathsf{NP}$ 同様に機能する別のタイプのソリューションは、各エッジへの方向の割り当てです（必要な数の頂点の有向パスを作成します）。これらの2種類の解は、両方とも多項式時間でチェックできますが、アルゴリズムは異なり、組み合わせ特性も異なります。たとえば、典型的な問題の場合、頂点の色の割り当ての数は、エッジの方向の数とは異なります。NP型問題の指数アルゴリズムの高速化に関する多くの研究は、同じ問題の新しいファミリの解決策を見つけて、チェックする可能性が少ないと解釈できます。

内のすべての問題有するだけ空の文字列からなる「ソリューション」。これが解であることを確認するには、解の文字列が空であることを確認してから、問題のインスタンスに対して多項式時間アルゴリズムを実行します。この種の解決策と、すべてイエスのインスタンスは、ちょうど1つの有効な解決策があり、すべてのインスタンスが定義会議、ゼロを持たないと示すこと。もし同じ空の文字列溶液だろうまた、内のすべての問題の作業示し、その $\mathsf{P}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{UP}$ $\mathsf{P}\subset\mathsf{UP}$ $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}=\mathsf{UP}$ 。したがって、空文字列ソリューションが一意であるという事実と、同じ問題に対する他のタイプのソリューションが一意ではないという事実との間に矛盾はありません。

— デビッド・エップスタイン
ソース

の含意は矛盾していませんか？次の問題はNP完全です。与えられたNは、与えられた範囲にNの因子があり、たとえばおよびですか？その範囲に複数の要因が存在する可能性があり、解決策が一意でない場合がありますか？

U P = N P

$UP=NP$

[a, b]

$[a,b]$

a, b \sim N^{\frac{1}{4}}

$a,b\sim N^{\frac{1}{4}}$

a < b

$a<b$

— T ....

繰り返しますが、解はあなたが探している要素にしかなれないと誤って仮定しています。同じ問題を解決する別の方法（つまり、指定されたNに対してyesまたはnoの回答を取得する方法）があり、それらは要因で構成されていない場合があります。また、P = NPの場合、空の文字列はNPソリューションの技術的要件を満たします（多項式時間で確認できます）。これは実際には要因ではなく、同じ問題の解決策です。

— デビッドエップシュタイン

この答えは、私たちに求められている以上のことを教えてくれるので、絶対に素晴らしいです！

— ビンセント

ユニークな証人を持つという直感は正しいが、微妙であるというShaullのコメントに同意します。最後の段落の引数は技術的に正確にすることができ、対の微妙さを強調しています。特に、最後の段落の問題は、本質的にかどうかの問題です。 $\mathsf{UP}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NPMV} \subseteq_{c} \mathsf{NPSV}$

$\mathsf{NPMV}$ は、非決定性多項式時間で計算可能な部分多値関数のクラスです。つまり、非決定性ブランチを受け入れるそれぞれが値を出力します（入力に受け入れパスがない場合、出力はありません、これらは部分的な機能である必要があるという事実につながります）。これは、問題の検索バージョンと密接に関連しています。 $\mathsf{NP}$

$\mathsf{NPSV}$ のクラスであり、単一で-valued機能であり、複数のブランチを受け入れることができるが、任意の枝は、受け入れ枝必須出力のすべて同じ値を受け入れる行う場合。 $\mathsf{NPMV}$

直観的に、あなたの最後の段落は、問題の特定の検証者の証人の中から、単一の証人を常に選択できるかどうかについて話している。これは、すべての関数に改良（と表記）があるかどうかの問題です。この場合、多項式階層が崩壊します（Hemaspaandra、Naik、Ogihara、およびSelmanの「計算ソリューションは多項式階層を一意に崩壊させる」を参照）。 $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NPMV}$ $\mathsf{NPSV}$ $\mathsf{NPMV} \subseteq_{c} \mathsf{NPSV}$

とは対照的に、からはそのような意味合いはありません。基本的に言語の与えられたので、（のための証人）のための機械必要性は、（任意のための証人）を行うには何も持っていない他のマシン（S ）。 $\mathsf{UP}$ $\mathsf{NP} = \mathsf{UP}$ $L \in \mathsf{NP}$ $\mathsf{UP}$ $L$ $\mathsf{NP}$ $L$

— ジョシュア・グロチョウ
ソース