TCSで基本的な役割を果たす「無関係な」数学の例

通常、コンピュータサイエンスに適用されるとは考えられていなかった数学の定理が、最初にコンピュータサイエンスの結果を証明するために使用された例を挙げてください。最良の例は、接続が明らかではなかったものですが、一度発見されると、明らかに「正しい方法」です。

これは、「古典数学へのTCSの適用」という質問の反対方向です。

たとえば、「グリーンの定理と平面グラフでの分離」を参照してください。分離定理（技術的証明を使用して既に知られている）は、多変量計算からのグリーンの定理を使用して再証明されます。

他にどんな例がありますか？

Maurice Herlihy、Michael Saks、Nir Shavit、Fotios Zaharoglouは、分散コンピューティングの問題の研究で代数トポロジーを使用した2004年にGodel賞を受賞しました。

数年前にノガ・アロンとムリ・サフラと共著した作品の例があります。

ノガは代数トポロジーの固定小数点定理を使用して「ネックレス分割定理」を証明しました。t型のビーズのネックレスがあり、bの人々の間でその部分を分割して、それぞれが同じ数のビーズを取得する場合（ bがtを分割すると仮定すると、最大（b-1）tの場所でネックレスをカットすることでいつでもそれを行うことができます。

この定理を使用して、Set-Coverの近似の難しさを証明するために使用した組み合わせオブジェクトを構築しました。

詳細はこちら：http : //people.csail.mit.edu/dmoshkov/papers/k-restrictions/k-rest.html

振り返ってみると、これは明白かもしれませんが、私はスティール、ヤオ、ベン・オーのオレイン・ペトロフスキー/ミルノール/トムの定理（実際の半代数集合のベティ数の境界）の適用が低いことを証明するのが好きでした代数的決定木の境界と代数的計算木の計算モデル。

私のお気に入りの結果の1つは、Kneser予想のLovaszの証明におけるトポロジカル引数の使用、および回避に関するAandera-Rosenberg-Karpの強力な予想に対するKahn-Saks-Sturtevant攻撃におけるトポロジカル（およびグループ理論）メソッドの使用です。

有限群の表現理論は、行列乗算のCohn-Kleinberg-Szegedy-Umansアプローチで使用されます。彼らは、特定の条件を満たす対称グループを持つアーベルの花輪積のファミリーが存在する場合、二次複雑性の行列乗算アルゴリズムがあることを示しています。

（代数群の）表現理論は、MulmuleyとSohoniの幾何学的複雑性理論の下限アプローチにも現れています。これがアプリケーションとしてカウントされるかどうかはまだ明確ではありません。このアプローチでは新しい複雑な結果がまだ証明されていないためです。

$IP = PSPACE$

近似理論（低次多項式などの単純な関数による複雑または不自然な実数値関数の近似を扱う）は、回路の複雑さ、量子クエリの複雑さ、擬似乱数性などで多くの用途があります。

この分野のツールの最もクールなアプリケーションの1つは、この Beigel、Reingold、およびSpielmanの論文から来ていると思います。ここでは、符号関数を低度の有理関数。

NisanとSzegedyとPaturiは、低次多項式による対称関数の近似の下限を示しました。この方法は、クォンタムクエリの複雑さの下限を証明する際によく使用されます。たとえば、Scott Aaronsonの講義ノートを参照してください。

別の美しいアイデア：ミニマックスの原理を使用するYaoのアイデアと、混合ゲームが平衡（本質的に線形計画法の双対性）を持ち、ランダム化アルゴリズムの下限を示すという証拠（代わりに決定論的アルゴリズムへの入力の分布を構築する）

定点定理はあちこちにあります...

$n$$O(\log n!)$比較、当たり前）。この事実の証明は、高次元のポリトープのジオメトリを介して行われます。具体的には、証明ではBrunn-Minkowskiの不等式を使用しています。これの良いプレゼンテーションは、離散幾何学の講義に関するMatousekの本にあります（12.3節）。オリジナルの証明は、ここからカーンとリニアルによるものです。

理論的なコンピューターサイエンスでは、情報理論の多くの用途があります。たとえば、ローカルでデコード可能なコードの下限の証明（KatzおよびTrevisanを参照）、Razの並列反復定理の証明、通信の複雑さ（スレッドなどを参照）たとえば、Barak、Braverman、Chen、Raoの比較的最近の研究、およびそこの参考文献など、通信の圧縮に関する研究、およびその他の研究。

AlonとNaorは、Grothendieckの不等式を使用して、max-cut問題の近似アルゴリズムを証明しました。私はそのトピックに関する後続の作品があると思うが、私は専門家ではない。

興味深いことに、同じ定理は、量子XORゲームを分析するためにCleve、Hoyer、Toner、Watrousによって使用され、LinialとShraibmanは量子通信の複雑さのためにそれを使用しました。私の知る限り、Grothendieckの不等式と量子物理学の基礎との関係は85年にTsirelsonによって発見されましたが、私が言及した2つの結果はコンピューターサイエンスに特化しています。

良い例は、バリントンの定理です。

$f$$d$$f$$4^d$

$S_5$

恥知らずのプラグ：Moritz Hardtの研究での線形クエリのためのほぼ最適な微分プライベートメカニズムの設計における等方性予想（および一般的な凸幾何学）の使用。

上記のSureshの質問に部分的に答えるには、元の質問は「通常はコンピューターサイエンスに適用されるとは考えられていない」ため、やや扱いにくいものだと思います。元々「無関係」と思われるこれらの手法の一部は、時間がたつと「正常」になります。そのため、これらの手法の中で最も成功したもの（例：カーン-カライ-リニアルのフーリエ解析、リニアル-ロンドン-ラビノビッチの計量埋め込み）は、もはや有効な答えではありません。

相加的組み合わせ論/数論は、抽出器の文献で多く使用されていました。最初の例は、Paleyグラフが優れた抽出器として使用できることに気づいたことから来ていると思います。また、加法数論のいくつかの未解決の質問は、より良いものを暗示します。私が知っている最初の文献はZuckerman 1990（彼の論文を参照）ですが、ここ数年、これはTCSと加法組み合わせ論との間で興味深い前後関係を持つ活発な分野でした。（ハイライトの1つは、有限体Kakeya予想のDvirの証明ですが、これはもちろん、数学へのTCSの貢献であり、他の方法ではありません。）のセットは、CSにとって重要です。

Sleator、Tarjan、およびThurstonは、双曲線幾何を使用して、n頂点と回転距離2n-6を持つバイナリ検索ツリーのペアの無限ファミリーの存在を証明しました。

$o(k^2)$

$k^2$

グラフのスパース化に使用される線形代数：

ジョシュア・D・バットソン、ダニエル・A・スピールマン、ニキル・スリバスタバ：2回ラマヌジャンスパースファイアー。STOC 2009：255-262。

これはカウントされる場合もカウントされない場合もありますが、最近では原子を含むZermelo-Fraenkel（ZFA）およびFraenkel-Mostowski（FM）セット理論が、名前バインディングを使用した抽象構文の研究に適用されています。ZFAは、20世紀初頭にCHの独立性を証明するためのツールとして導入され、その後忘れられましたが、1990年代後半に2人のコンピューターサイエンティスト（ギャブベイとピット）によって再発見されました。

たとえば、この調査論文を参照してください。

カーンとキムの部分的な情報の下でのソートへのグラフエントロピーの適用（http://portal.acm.org/citation.cfm?id=129731）。彼らは、理論的に最適な（定数までの）比較数の情報を実行する最初の多項式時間アルゴリズムを提供しました。この論文は、凸幾何学、グラフエントロピー、および凸計画法とともにいくつかの古典的な組み合わせの引数を使用した、数学の小さなフィールドトリップです。より最近のより単純なアルゴリズムがありますが、グラフエントロピーなしでそれを分析する方法を今でも知っています。

RSAおよび他の公開鍵暗号方式の開発には、数論が使用されました。

唐葉の増殖の発見は驚くべきものでした。