計算の幾何学的解釈

物理学から来た私は、幾何学的な観点から多くの問題を調べる訓練を受けてきました。たとえば、動的システムの多様体の微分幾何学など。コンピューターサイエンスの基礎を読むときは、常に幾何学的解釈を見つけようとします。再帰的に列挙可能なセットのもっともらしい幾何学的な解釈のように定式化）または数値を並べ替えるための単純なアルゴリズムの美しい幾何学的結果。私は専門家ではありませんが、幾何学的複雑性理論に関する調査を読んでおり、確かに興味深いプログラムですが、チューリングマシン、ラムダ計算のダイナミクスや（ un）計算可能なセット（特定の問題ではなく）。これらのオブジェクトの幾何学的構造を見つけることは絶望的な仕事ですか、それとも複雑な結果を期待できますか？幾何学的に扱うTCSの定式化はありますか？

コンピュータプログラムのセマンティクスは、3つの異なる（および明らかに互換性のない）方法で幾何学的に理解できます。

• 最も古いアプローチは、ドメイン理論によるものです。ドメイン理論の背後にある直感は、終了と非終了の背後にある非対称性から生じます。

  プログラムを拡張的に処理する場合（つまり、内部構造ではなくI / O動作のみを見る場合）、プログラムが停止することを有限時間で確認することは常に可能です。停止するまで待つだけです。ただし、プログラムが停止しないことを確認することはできません。どのくらい長く待機しても、待機しているよりも数ステップ多く実行する停止プログラムが常に存在するためです。

  結果として、停止とループはトポロジ空間（Sierpiński空間）を形成していると見なすことができます。これにより、スコットトポロジを介したより豊かな観測の概念が得られ、プログラムをトポロジ空間の要素として解釈できます。これらのスペースは、従来の観点からは一般的に非常に驚くべきものです。ドメインは一般にハウスドルフではありません。

  私がこれらのアイデアについて知っている最高のトポロジの紹介は、Steve VickersのLogicを介した短くて非常にアクセスしやすいトポロジです。これは、ピーター・ジョンストンの非常に手ごわいストーンスペースの一種のウォームアップとして理解することができます。

  オンラインの講義ノートを探している場合は、Martin Escardoのデータ型と古典空間の合成トポロジをお勧めします。

• 別の見方は、並行性理論から生じます。並行プログラムは、競合の解決方法に応じて、複数の有効な実行（状態のシーケンス）があると理解できます。次に、実行のセットはスペースとして表示でき、状態の各可能なシーケンスはこのスペースを通るパスとして理解されます。次に、代数トポロジーとホモトピー理論からの方法を適用して、プログラム実行に関する不変式を導き出すことができます。

  Nir ShavitとMaurice Herlihyはこのアイデアを使用して、特定の分散アルゴリズムの不可能性を証明し、2004年のGödel賞を受賞しました。（非同期計算のトポロジ構造を参照してください。）Eric Goubaultには、並行性理論のいくつかの幾何学的観点で関連するアイデアを説明する調査論文があります。

• ごく最近、依存型理論の恒等型の構造はホモトピー理論のホモトピー型の概念に非常に密接に対応することが観察されました-実際、非常に密接に、依存型理論は一種のように見ることができます「合成ホモトピー理論」！（Vladimir Voevodskyは、CS部門の同僚がすでに学部生にそれを教えていることを発見するために、ホモトピー理論の新しい計算法の開発に数年費やしたと冗談を言っています。）

  上記のホモトピー型理論本へのcodyのリンクを参照してください。

興味深いことに、これらの3つのビューは互いに互換性がないか、少なくとも調整が非常に難しいようです。依存型理論は完全な言語であるため、非終端（およびスコットトポロジ）は発生しません。また、コンフルエントであるため、スペースとしての計算のビューも発生しません。同様に、領域理論の観点から並行性を定式化することは非常に困難であることが証明されており、完全に満足のいく説明は未解決の問題です。

まさにそのように、依存型の理論の最近の発展がありました。伝統的にコンピュータプログラムの静的な不変式を表す型は、位相空間、またはむしろそのような等価クラスであると解釈されることができますスペース（ホモトピータイプ）。

これは過去数年にわたる集中的な研究の主題であり、本に至りました。

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GCTは知っていますが、PRAM計算のサブセットとPの間の分離を示すMulmuleyの以前の研究については知らないかもしれません。

代数的決定木モデルの問題の多くの下限は、ソリューションの基礎となる空間のトポロジについての推論に帰着します（ベティ数は関連パラメータとして表示されます）。

ある意味では、すべての最適化は幾何学的です。線形プログラムは高次元でポリトープの最低点を見つけることを含み、SDPは半正定行列の空間上の線形関数などです。ここでは、アルゴリズムの設計でジオメトリが頻繁に使用されます。

そのテーマでは、グラフ上の特定の機能を最適化する能力と、特定の標準空間にメトリック空間を埋め込む能力との間には、長く深いつながりがあります。これは現在、膨大な文献です。

最後に、近年、最適化問題を解決するためのいわゆる「リフトアンドプロジェクト」メカニズムに多大な関心が寄せられており、これらは基礎となるジオメトリと高次元空間へのリフトを多用しています：代数幾何学プレイからの概念ここで重要な役割。

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情報処理（「計算」とも呼ばれる）とジオメトリの関係を理解する1つの方法は、情報処理がジオメトリに優先することです。このビューは、物理学の特定の部分からおなじみのはずです。例えば、相対性理論では、時空（その情報処理）の因果構造とその幾何学的構造の両方を研究します。後者は前者よりも基本的であると多くの人が考えるでしょう。

これらの関連性は過去に注目されており、数年前、コンピューターサイエンスの情報理論的側面を相対性理論と結びつける努力がありました。人々が解決したかったタスクの1つは、時空の因果関係構造（時空の単なる半順序）から開始し、時空のトポロジ、または場合によってはジオメトリも再構築することでした。部分的な順序からトポロジを回復することは、ドメイン理論が得意なことであり、ある程度の成功がありました。

参照：

• モデル空間、時間、因果関係の計算構造、Dagstuhlセミナー06341、2006年8月20〜25日

• キーマーティンとプラカシュパナンガデン：因果構造と測定からの時空幾何学

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あなたの質問を創造的に解釈すると、GCT以外の可能性が思い浮かびます。1つの方法は、非常に遍在する未決定の問題（別名チューリング完全性）を探すことです。

• 非周期的なタイル張りとペンローズタイル張り。その飛行機のアペロディックタイルがあるかどうかの問題は決定できないことが証明されています。

• セルオートマトンは、物理学への深いつながり、多くの関連する未決定の問題、実証済みのTM完全性を備え、TM計算タブローとして自然に解釈される（そして変換される）ことがますます示されています。

• $(x,y)$ますか？

• 動的システムの決定不能性（ヘイリー）の決定不能性、これも物理学と密接に関連していることがあります。動的システムは一般に多次元の幾何学的解釈を持ちます。

• ビジュアルプログラミング言語。プログラムは、さまざまなタイプの頂点（条件付き、算術演算など）を持つタイプの（有向？）グラフとして見ることができます。