複雑さの下限を決定するための高度な手法

皆さんの中には、この質問をフォローしている人もいるかもしれませんが、これは研究レベルではないため閉じられました。それで、私は研究レベルにある質問の一部を抽出しています。

並べ替えやEXPTIME完了問題への還元などの「より単純な」手法以外に、問題の時間の複雑さの下限を証明するためにどの手法が使用されていますか？

特に：

• 過去10年間に開発された「最先端の」技術とは何ですか？
• 抽象代数、カテゴリー理論、または通常「純粋な」数学の他の分野の手法を適用できますか？（たとえば、ソートの「代数構造」についての言及をよく耳にしますが、これが何を意味するのかについての本当の説明はありません。）
• 重要度は低くなりますが、バウンドの複雑さに対するあまり知られていない結果は何ですか？

代数回路の下限

回路サイズの下限が時間の下限に類似している代数回路の設定では、多くの結果が知られていますが、最新の結果には少数のコア技術しかありません。時間の下限を要求したことは知っていますが、多くの場合、代数的下限がいつかブール/チューリングマシンの下限につながることを期待していると思います。これらの結果は、多くの場合、「純粋な数学」からより深いテクニックを使用します。

I.学位の制限。

Strassenは、関数（のセット）に関連付けられた特定の代数多様性の程度のログは、それらの関数を計算する代数回路サイズの下限であることを示しました。

II。接続されたコンポーネント（またはより一般的には、より高い相同性グループの次元）。

Ben-Orは、（半代数）セットのメンバーシップを決定する実際の代数決定ツリーのサイズが少なくともであることを示しましたはそのセットの連結成分の数です。Ben-Orはこれを使用して、実際の代数決定木モデルでの並べ替えの下限（まあ、要素の明確さですが、要素の明確さは並べ替えに減少しを証明しました。Yaoはこれを連結成分からベティ数の合計に拡張し、他の問題（等式）の最適な下限を証明しました。別の論文で、ヤオはこれを整数上の代数的決定木に拡張しました。C Ω （N ログN ）$\log C$$C$$\Omega(n \log n)$$k$

III。偏微分。

これは、現代の代数回路の下限の多くの主力でした。私は、偏導関数が最初に彼らはすべての計算最初のパーシャルことを示したバウアー-Strassenので下界を証明するために使用されたと信じサイズで行うことができる計算するのに必要なサイズである。Strassenの次数限界と組み合わせて、これはさまざまな関数のサイズの下限を与えました。これは、明示的な関数の無制限の算術回路のサイズの最も強い下限です。5 S S F Ω （N ログN $f$$5s$$s$$f$$\Omega(n \log n)$

最近の偏導関数の使用は、すべての偏導関数の空間の次元を考慮して非可換回路の下限を証明したNisanの論文から生じているようです。これは、Nisan-Wigdersonによる制限された種類の深さ3回路の下限を証明するために使用され、同様のアイデアがRaz（およびRazと共同研究者による関連モデル）の多重線形式サイズの下限を証明するために使用されました。グプタ、カヤル、カマト、サプタリシによる非常に最近の深さ4および深さ3の下限は、この考え方の一般化を使用して、「偏偏微分」の空間の次元を数えます。与えられた学位の単項式。GKKSの結果を、パーマネントの超多項式サイズの下限に改善する（これは、$\mathrm{VP} \neq \mathrm{VNP}$）は、恒久的な未成年者によって生成された理想をよりよく理解することの「単なる」問題かもしれません（論文の最後の推測を参照）。

IV。さまざまな方程式を定義します。

ここでのアイデアは、特定の代数多様体を「簡単な関数」に関連付け、この多様体で消滅する方程式を見つけ、これらの方程式が「ハード関数」で消滅しないことを示すことです。（したがって、ハード関数がさまざまな簡単な関数にないことを証明しているため、実際にはハードです。）行列乗算の下限で特に役立ちます。最新および以前の下限の参照については、arXivのLandsberg--Ottavianiを参照してください。

（実際、上記のI、II、およびIIIはすべて、特定の種類の定義式を見つける特別なケースとみなすことができますが、I、II、IIIを使用する証明は、実際にはそうではなかったので、本質的にそのように言い表されることはありませんする必要があります。）

V.表象理論、特に 幾何学的複雑性理論のように。

実際には、ランツベルク-オッタヴィアーニでも使用され、特定の種類の方程式を見つけます。また、Burgisser-Ikenmeyerによって使用され、「純粋に」表現を取得します。これは、行列乗算の下限がわずかに弱いことの理論的証明です。MulmuleyとSohoni（「幾何学的複雑性理論I＆II」を参照）が推測し、 vsを解決し、最終的に vs.を解決するのに役立ちます。V N P N P P / p o l $\mathrm{VP}$$\mathrm{VNP}$$\mathrm{NP}$$\mathrm{P/poly}$

Kavehは彼の答えの中で、私が何か言うべきだと穏やかに提案しました。この素晴らしく包括的な回答リストに貢献できるものは他にありません。過去10年ほどで「構造の複雑さ」の下限がどのように変化したかについて、いくつかの一般的な言葉を追加できます。（代数的、通信の複雑さなどと区別するために、単に「構造的複雑さ」という名前を使用します。）

現在のアプローチは、依然として大部分が対角化に基づいており、特に次の基本的なパラダイムに基づいています。下限の反対を仮定することから始めます。これにより、いくつかの問題に対する優れたアルゴリズムが提供されます。そのアルゴリズムを使用して、時間階層や空間階層など、対角化に基づいた階層定理に矛盾するようにしてください。対角化の引数だけでは新しい下限を証明するのに十分ではないため、矛盾するレシピを得るために他の成分がミックスに追加されます。

70年代と80年代からの多くの議論は、上記のパターンに従うと言うこともできます。最近の主な違いは「その他の材料」です。選択できる材料はたくさんあり、材料の適用方法はあなた自身の創造性によってのみ制限されるようです。特定の材料を混合してより良いレシピを得る方法がわからない場合でも、それらをどのように混合できるかを非常によく理解している場合、新しいレシピを提案するコンピュータプログラムをコーディングすると役立ちます。

このパラダイムを絶対にたどらない最近の下限の新しい証明を取得することは非常に興味深いでしょう。たとえば、は、対角化引数への参照なしで証明できますか？まず、非決定的な時間階層定理を呼び出さずに証明できますか？（たとえば、代わりに「回路サイズ階層」を使用できますか？）$NEXP \not\subset ACC$

テクニックは、モデルと下限を取得したいリソースのタイプに依存します。問題の複雑さの下限を証明するには、最初に計算の数学モデルを修正する必要があります。問題の状態の下限は、ある量のリソースを使用するアルゴリズムが問題を解決できないことです。アルゴリズム上。定量化の領域を数学的に定義する必要があります。（これは一般的に不可能な結果に当てはまります。）したがって、下限の結果は特定の計算モデルにのみ当てはまります。たとえば、$\Omega(n \log n)$並べ替えの下限は、比較ベースの並べ替えアルゴリズムでのみ機能します。この制限はなく、より一般的な計算モデルでは、線形時間でもより速く並べ替えを解決できる場合があります。（以下のJoshのコメントを参照してください。）

ここに、より一般的な計算モデル（チューリングマシンと回路）の計算複雑性理論の下限を証明するいくつかの基本的な直接的な方法があります。

I.カウント：

アイデア：アルゴリズムよりも多くの機能があることを示します。

例：指数関数的に大きな回路を必要とする関数があります。

このメソッドの問題は、実在的な引数であり、明示的な機能や、困難であることが証明された問題の複雑さの上限を与えないことです。

II。組み合わせ/代数：

アイデア：回路を分析し、特定の特性を持っていることを示します。たとえば、それらによって計算された関数は数学オブジェクトの素晴らしいクラスで近似できますが、ターゲット関数にはその特性がありません。

例：Håstadのスイッチング補題とその変形では、決定木を使用して を近似します。Razborov-Smolenskyは、フィールド上の多項式を使用して関数を近似します。 A C 0 [ p $\mathsf{AC^0}$$\mathsf{AC^0}[p]$

この方法の問題は、実際には、小さくて比較的簡単に分析できるクラスでしか機能しないことです。Razborov-RudichのNatural Proofsバリアもあります。これは、より一般的な回路の下限を証明するのに単純なプロパティだけでは十分ではない理由を形式化しています。

Razborovの論文「近似法について」は、ある意味で下限を証明するための近似法が完全であると主張しています。

III。対角化：

アイディア。より小さいクラスの関数に対して対角化しています。このアイデアは、ゲーデル（およびカントール）にまで遡ります。

例 時間階層定理、空間階層定理など

このメソッドの主な問題は、上限を取得するには、より小さなクラス用のユニバーサルシミュレーターが必要であり、適切な非自明なシミュレーターを見つけることが難しいことです。たとえば、をから分離 するには、内にシミュレーターが必要であり、そのようなシミュレーターがある場合はそうしないことを示す結果があります。いいね そのため、通常は同じタイプのリソースでクラスを分離することになりますが、少し多くのリソースを使用すると、より小さなクラスを普遍的にシミュレートできます。P S p a c e P P S p a c $\mathsf{P}$$\mathsf{PSpace}$$\mathsf{P}$$\mathsf{PSpace}$

また、相対化障壁（ベーカー、ギル、およびソロバイに戻る）と代数化障壁（アーロンソンとウィグダーソンによる）があります。

これらの障壁は、より一般的な対角化引数には適用されないことに注意してください。実際、Dexter Kozenの論文「サブ再帰クラスのインデックス付け」では、下限を証明するための対角化が完了しています。

お気づきかもしれませんが、複雑度クラスの優れたユニバーサルシミュレータを見つけることと、その複雑度クラスをより大きなクラスから分離することとの間には強い関係があります（正式な声明については、Kozenの論文を参照）。

最近の作品

最近の進歩については、Ryan Williamsの最近の論文をご覧ください。私はライアン自身が答えを書くことを望んでいるので、この答えではそれらについて議論しません。

代数的決定木

これは最近の手法ではなく、特定の問題に対して非常に強力な手法です。

代数的決定ツリーモデルは、比較ツリーの強力な一般化です。このモデルでは、アルゴリズムは、各入力サイズ 1つずつ、不均一な決定木のファミリーとしてモデル化されます。具体的には、次代数決定木は、次の構造を持つ根のある三分木です。$n$$d$

• 各非葉ノードは、最大で次数の多変量クエリ多項式でラベル付けされます。たとえば、比較ツリーでは、すべてのクエリ多項式は、いくつかのインディーおよびに対しての形式を持ちます。$v$$q_v(x_1, \dots, x_n)$$d$$x_i-x_j$$i$$j$

• すべての非リーフノードを残してエッジが標識されている、、および。$-1$$0$$+1$

• 各リーフには、可能な出力の説明がラベル付けされています。たとえば、並べ替えの問題の場合、各葉にはの集合の順列でラベルが付けられます。意思決定の問題の場合、各葉には「はい」または「いいえ」のラベルが付けられます。$\{1,2,\dots,n\}$

入力ベクトル与えられた場合、訪問先ノードのクエリ多項式の符号に従って分岐し、ルートから下向きにパスをたどることによって計算します。横断は最終的に葉に到達します。その葉のラベルが出力です。アルゴリズムの「実行時間」は、通過するパスの長さと定義されます。したがって、最悪の場合の実行時間は決定木の深さです。$\vec{x}\in\mathbb{R}^n$

特に、各クエリ多項式には個別の用語がある場合があることに注意してください。それにもかかわらず、モデルはクエリ多項式の符号を一定時間で評価できると想定しています。$\Omega(n^d)$

各葉について、が実行が到達する入力ベクトルのセットを示すようにします。構成上、は、定数に対して、最大での次数が最大多項式不等式で定義される半代数サブセットです。PetrovskiĭとOleĭnik、Thom、およびMilnorによって独立して証明された古典的な定理は、そのような半代数集合が最大成分を持つことを意味します。R $\ell$$R(\ell) \subseteq \mathbb{R}^n$$\ell$$R(\ell)$$\mathbb{R}^n$$t = \text{depth}(\ell)$$d$$d$$(dt)^{O(n)}$

入力ベクトルがサブセットにあるかどうかを判断するとします。が最大で成分を持つ場合にのみ、深さ次の決定木を使用してこの決定を行うことができます。同様に、下限ます。$W\subseteq\mathbb{R}^n$$d$$t$$W$$3^t (dt)^{O(n)}$$t = \Omega(\log \#W - n\log d)$

たとえば、入力ベクトルの座標すべてが異なるかどうかを判断するとします。「yes」インスタンスのセットは、正確にコンポーネント、サイズ順列ごとに1つ。したがって、すぐに下限があり。W n ！N Ω （N ログN $n$$W$$n!$$n$$\Omega(n\log n)$

この下限は、2つの方法でソートするための古典的な比較下限を強化することに注意してください。まず、計算モデルでは、単位コストでの比較よりもはるかに複雑なクエリが可能です。第二に、さらに重要なことに、下限は意思決定問題に適用されます。2つの異なる出力しかないため、単純な情報理論的境界は自明です。 $\Omega(n\log n)$

この引数の拡張では、ベティ数、オイラー特性、体積、または低次元の面の数など、コンポーネントの数よりも興味深い複雑さの尺度を使用します。すべての場合において、ペトロフスキー-オレニク-トム-ミルナーの定理の一般化は、各セットがせいぜいしか持たないことを意味します。（d t ）O （n $R(\ell)$$(dt)^{O(n)}$

この下限の手法には、2つの重大な欠点があります。最初に、多項式の深さを持つ代数決定ツリーのファミリーで解決できる問題を考えます。Petrovskiĭ-Oleĭnik-Thom-Milnorの定理とその一般化は、このような問題を定義する半代数セットが最大複雑さを持つことを意味します。 したがって、この手法を使用して、多項式時間で解くことができる問題について、このモデルのよりも大きい下限を証明することはできません。 n log n$n^{O(n)}$$n\log n$

O （n 4 log n ）2 O （n $\Omega(n^2)$$O(n^4\log n)$$2^{O(n)}$$\mathbb{R}^n$$n^4\log n$$k$$k$$k$$k$$O(n^{k/2})$$O(n^4\log n)$

ダブルネガティブな結果を得るために！

Manindra Agrawalには、「Psuedorandom Generatorsによる下限の証明」という素晴らしい論文があります。これは下限を証明するためにランニングでは「ダークホース」と見なされるかもしれませんが、この論文は興味深いものです。

これは、回路の下限角度に焦点を当てた被験者にちょうど現れた32pの調査です（ここには他の回答と内容に強い重複があります）。

• Oliveiraによるアルゴリズムと回路の下限

「回路クラスCの非自明なアルゴリズムがCに対して回路の下限を生成する」という形式のいくつかの伝達定理を証明するために、さまざまな手法が使用されてきました。この調査では、これらの結果の多くを再検討します。デランダム化、圧縮、学習、および充足可能性アルゴリズムから回路の下限を取得する方法について説明します。また、回路の下限と有用な特性との関係についても説明します。これらの概念は、これらの伝達定理の文脈において基本的であることが判明しています。途中で、いくつかの新しい結果を取得し、いくつかの証明を単純化し、異なるフレームワークが関係する接続を示します。私たちのプレゼンテーションが、この分野の研究を追求することに興味がある人たちのための自己完結型の紹介として役立つことを期待しています。