差のシーケンスを持つ置換の存在のための効率的なアルゴリズム？

この質問はこの投稿によって動機付けられています。多項式時間で2つの順列の合計を特定できますか？、および順列の計算特性に対する私の関心。

違いは、シーケンス置換の番号順列内の各2つの隣接する数の差見つけることによって形成される。つまり、以下のための $a_1, a_2, \ldots a_n$ $\pi$ $1, 2, \ldots n+1$ $\pi$ $a_i= |\pi(i+1)-\pi(i)|$ $1 \le i \le n$

例えば、配列順列の違い配列である。しながら、配列及び数字の任意の順列の違いシーケンスはない。 $1, 1, 3$ $2 3 4 1$ $2, 2, 3$ $3, 1, 2$ $1, 2, 3, 4$

与えられたシーケンスがいくつかの順列差分シーケンスであるか、NP困難であるかを決定する効率的なアルゴリズムはありますか？ $\pi$

編集：循環順列を使用して問題を定式化すると、計算的に同等の問題が発生します。

EDIT2：MathOverflowに投稿されたクロス、違いシーケンスから順列を再構築するのはどれくらい難しいですか？

EDIT3はプルーフスケッチへの賞金を授与し、完全な正式なプルーフを取得した後、答えを受け入れます。

編集4：マルツィオの素晴らしい完全性証明は、電子ジャーナル・オブ・コンビナトリクスに掲載されました。 $NP$

— モハマドアルトルコキスタニー
ソース

おそらく別のささいな（しかしもっと音？）コメントは、

が

順列（すべての値が異なる）である場合、問題はシーケンスが

の行の優雅なラベル付けであることを検証することです多項式時間で解ける

ノード。

a_{i}

$a_i$

[1.. n]

$[1..n]$

n + 1

$n+1$

— マルツィオデビアージ

@MarzioDeBiasi順列問題に対する私の情熱を共有してくれると思います。私は、最も簡単な計算が面白い順列の問題を思い付いたことを願っています:)

— ムハンマド・アル・Turkistany

:-) ...むしろ、私のコメントは、優雅なツリーのラベル付けの問題に無駄に費やした時間から直接来たと言いたいのですが...しかし、私はあなたの問題のNP完全削減の可能性について曖昧な考えを持っています。正式化に成功したら、回答を投稿します。

— マルツィオデビアージ

@MarzioDeBiasiあなたの問題、ボトルネックの問題を伴うジョブスケジューリングは、私の問題の特別な場合に相当するというShorの興味深いコメントを見つけました。：ここでショアのコメントがある場合は

、問題はの順列見つけると同等である

ので、

K = 2 N

$K=2N$

1...2 N

$1...2N$

i_{2 a - 1} - i_{2 a} = A_{i}

$i_{2a−1}−i_{2a}=A_i$ 。これは、私の問題の

完全性の別の証拠を提供します。

N P

$NP$

— モハマドアルトルコ

これは、NP困難であることを証明するための可能な削減のスケッチです。

$a_i$ $...11111...$

$2$ $1112112111$

 a_i seq.:     1 1 1  2  1 1  2   1  1  1  forces
 permutation: 1 2 3 4 _ 6 7 8 _ 10 11 12 13 (or its decreasing equivalent)
 (from 4 you cannot go back to 2,
 from 8 you cannot go back to 6)

穴はしなければならない満たされた順列の残りの部分で。

3）十分な大きさの1SEQに続いて、いくつかの穴のある1SEQを使用し、さらに別の大きな1SEQを使用して、強制ラインを作成できます。

4）多くの強制された線をまとめると、ノードが基礎となる強制的な順列で欠落している数に対応する順列グリッドグラフを作成できます。

たとえば、シーケンス1111111112111111111112111111111は、次の5x7の順列グリッドグラフを強制します。

29 30 31 32 33 34 35
22 23 24    26 27 28
15 16 17 18 19 20 21
 8  9 10    12 13 14   
 1  2  3  4  5  6  7

$w \times w$ $a,b$ $|a-b|=kw$

$G$

$G$ $G$

7）元のグリッドグラフにハミルトニアンサイクルがある場合にのみ、すべての穴を埋めることができます（順列を完了する）。

編集：2013年7月27日

問題のNP完全性を正式に証明しようとしました。NPC という新しい問題（Crazy Frog問題）を導入しました。相違点からの順列再構成問題は、「ブロックされたセルのない1次元クレイジーカエル問題」（これもNPC）と同等です。

削減の詳細については、cstheoryの私の質問/回答「2つのハミルトニアンパスバリアント」を参照するか、「カエルが順列に出会ったとき」という証明のドラフトをダウンロードしてください:)）（私はまだチェック/完了しています）

— マルツィオ・デ・ビアシ
ソース

いいですね、これが解決につながると確信しています。選択ガジェットは間違いなく実現可能です。

— domotorp

@domotorp：私はそれを投稿しました（私は次の日に選択/同期部分の詳細を投稿します）; おそらくそれは私には見られないエラーを含んでいますが、全体の削減が大幅に簡素化できると1 ドル賭けています:

— Marzio De Biasi

@MarzioDeBiasi素晴らしい視覚化。あなたは正しい軌道に乗っているようです。問題に大きな関心があるので、MathOverflowに回答を投稿してください。

— モハマッドアルトルコ

@MarzioDeBiasi賞金の有効期限が切れる前に、最終回答（公式）を投稿できますか？

— モハマッドアルトルコ

@ MohammadAl-Turkistany：旅行から帰ってきたばかりです。翌日にはガジェットの形式化（およびCSPでの確認）を試みます。

— マルツィオデビアシ