ツリーの解決が容易ではないSATの簡単なケース

CNF公式の自然なクラスはありますか-できれば以前に文献で研究されたもので、次の特性があります：$C$

• SATの簡単な場合で、例えばホーンまたは2-CNFのように、すなわち、のメンバーシップ Cは多項式時間でテストすることができ、かつ式 F ∈ Cは多項式時間で充足について試験することができます。$C$$C$$F\in C$
• 充足式短い（多項式サイズ）ツリー状の解像度反論を有することが知られていません。さらに良いでしょう：Cには、ツリーのような解像度の超多項式の下限がわかっている、満足できない数式があります。$F\in C$$C$
• 一方、満足できない式は、いくつかのより強力な証明システム、たとえばDAGのような解像度またはさらに強力なシステムでは証明が短いことが知られています。$C$

、あまりにもまばらな、すなわち、と多くの数式含めるべきではありません n個すべての（または少なくともほとんどの値に対する）のための変数、 N ∈ Nを。また、充足可能な数式と充足できない数式を含むという意味で、それは重要です。$C$$n$$n\in \mathbb{N}$

任意CNF式解決するため、以下の手法有意義であるべきである：部分的割り当て見つけるα STに残留式F αであるCを、その後の数式のための多項式時間アルゴリズムを適用CにFのα。したがって、制限を適用した後、任意の数式が完全に異なる制約になることはまれだと思うので、現在受け入れられている回答とはまったく異なる制約以外の別の答えを求めています。$F$$\alpha$$F\alpha$$C$$C$$F\alpha$

あなたはすべて異なる制約に興味があるように思えます（そして最後の文は正しい軌道にあります）。これらはハト穴原理の自明ではない例であり、ハトの数は必ずしも穴の数より多いわけではなく、さらに一部のハトは一部の穴から除外される場合があります。

すべて異なる制約は、低次の多項式時間で照合することによって決定できます。

• Jean-CharlesRégin、CSPの差異の制約のためのフィルタリングアルゴリズム、AAAI 1994、362〜367。
• DE KnuthとA. Raghunathan、互換性のある代表者の問題、SIAM J. Discrete Math。5 422–427、1992。doi：10.1137 / 0405033

すべての異なる制約がSATインスタンスとして（いくつかのエンコーディングの1つを使用して）表現される場合、競合主導の節学習は通常、解決策が存在する場合、それをすばやく見つけます。ただし、PHPの純粋な解決策では、インスタンスに満足できないことを示すために、スーパーポリノミナルに大きな句のセットを作成する必要があります。この限界は、このより一般的な問題に明確に当てはまります。一方、PHPのクックのエンコードでは、多項式サイズの拡張解像度の反駁が可能であることを思い出してください。

• SAクック、拡張解像度を使用した鳩穴の原理の簡単な証明、SIGACTニュース8 28–32、1976。doi：10.1145 / 1008335.1008338

これらの線に沿った最近の研究は、CCC 2013でアルベルトアセリアスとの論文の基礎を形成したセルジオリーバの論文の第5章です。

私はあなたがクックの古典的な結果を知っていると思います、それでおそらくあなたはあなたの第3の状態で証明システムの力を制限するつもりでしたか？

なぜsat公式も必要になるのかわかりませんが、[1]のように、一般解像度とツリー解像度の分離に関するいくつかの記事があります。これがあなたが望むものだと私には思えます。

[1]ベン・サッソン、エリ、ラッセル・インパリアッツォ、アヴィ・ウィグダーソン。「ツリー状の解像度と一般的な解像度のほぼ最適な分離。」Combinatorica 24.4（2004）：585-603。

小さい（対数）「帯域幅」または「ツリー幅」のSAT式に興味があるかもしれません。これらの式は、パーティション間の通信境界が小さくなるように再帰的に分割可能であるため、列挙型の動的プログラミング手法を使用してそれらを解決できます。トピックは90年代に人気がありました。私はかつて、24,000頂点の小さなツリー幅グラフでハミルトニアンサイクルの数を正確に数えたので、小さなツリー幅の#P問題も解決できます。Bodlaenderは主要なリファレンスです。

この次の論文は、いくつかの点で要求されているものに近いようです（それが合わない場合は、JJが理由を明らかにできるでしょう）。質問は、真/偽の両方の式の欠如に基づいてPHP（pigeonhole）インスタンスを除外することを望んでいますが、（他の回答で引用されているように）PHPは理論側から最もよく研​​究されたケース/インスタンスジェネレーターの1つであり、満足できる式はそれほど強調/研究されていませんが、常に満足できる/満たされない式の両方のジェネレーターです。

${^m_n}$$m$$n$$m>n$$m \leq n$

• ツリー様解像度は鳩山原理（1999）のDAG様解像度よりも超多項的に遅い岩間和夫、宮崎修一

別のアプローチは、より経験的な角度で行って、ランダムなインスタンスを生成し（おそらく、容易に困難な50％の満足できる遷移点の周り）、それらをフィルターして、前述の基準に合わせることです。ツリー解決/ DAG解決または「より強力なシステム」の実装が必要になります。