ストリームのグラフ接続のチェックの下限

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パスのストリームの接続問題を解決するために、スペースの下限のステータスを確認したいと思います。文献に記載されたが、わずかに異なる問題のためであると考えられます。私は何か見落としてますか？詳細は以下。 $p$ $\Omega(n/p)$

ストリーム内の個の頂点のグラフ（エッジはストリーミング方式で1つずつ提示される）が与えられた場合、が接続されているかどうかを確認します。アルゴリズムがパスのストリームの読み取りを許可されている場合、アルゴリズムがこの問題を解決するために必要な最小スペースはどれくらいですか？ $G$ $n$ $G$ $p$

ファイゲンバウムら。は、この問題を含むクラスの問題（セクション5.1を参照）のワンパスアルゴリズムのスペースを示し、接続のスペースの下限はHenzingerらによって証明されたと述べました。。ただし、「接続性」問題の唯一の下限は、実際には「 -接続性」問題です。頂点と与えられた場合、とが同じ接続コンポーネントにあるかどうかを確認します（定理6）。エッジがないことに多くの頂点が存在する可能性があるため、この証明は接続性の問題には使用できません。 $\Omega(n)$ $\Omega(n/p)$ $s$ $t$ $s$ $t$ $s$ $t$

だから、私の質問は、私が述べた特定のバージョンの接続について、 -passストリームについて既知の下限はあるのでしょうか？ $p$

lower-bounds data-streams

— ダヌ
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機能する可能性のある素性からの削減を次に示します。

入力ビットベクトルと与えられると、アリスとボブは、ようなインデックスがない場合にが接続されるように、グラフエッジセットおよびを考え出します。 $n$ $x$ $y$ $E_1$ $E_2$ $G$ $G$ $x_i = y_i = 1$

グラフ頂点集合があります。用、アリスはエッジを追加に IFF 。同様に、ボブはエッジを追加 $G$ ${0,1,\ldots,n} \times {0,1}$ $i < n$ $((i-1,0),(i,0))$ $E_1$ $x_i = 0$ から場合、です。加えて、アリスは、フォームのすべてのエッジを加算のための。 $((i-1,1),(i,1))$ $E_2$ $y_i = 0$ $((i,0),(i,1))$ $i\in {0,\ldots,n}$

私はこのグラフ一の連結成分IFFあると思うに接続されている毎ときに限り発生し、、いずれかのまたは 0です。つまり、2つの入力は互いに素です。 $(0,0)$ $(n,0)$ $i\in{1,2,\ldots,n}$ $x_i$ $y_i$

— スリカンス
ソース

1

これはいいね！あなたのアイデアを使用して、我々としてもこれを行うことができます：構築物

ノードが

プラス

および

。

場合は

から

へのエッジがあり、

場合は

から

へのエッジがあり

。

n

$n$

v_{1}, . . ., v_{n}

$v_1, ..., v_n$

s

$s$

t

$t$

s

$s$

v_{i}

$v_i$

x_{i} = 0

$x_i=0$

t

$t$

v_{i}

$v_i$

y_{i} = 0

$y_i=0$

— Danu

すごい！

と

もエッジで接続されるべきではありませんか？

s

$s$

t

$t$

— Srikanth、

はい、あなたが正しい。

と

はエッジで接続する必要があります。

s

$s$

t

$t$

— Danu

5

ときに、より良い下界 $p=1$ あるビット、。（という用語は、任意に近いようにすることができる十分な大きさのために、および漸近それは）。 $n \log n - n (\log \log n + 3/2)$ $\log = \log_2$ $3/2$ $1$ $n$ $\log\log e - \log e \approx 0.91$

グラフ接続性通信ゲームから直接的な削減を適用して、あまり明確でない下限を取得することもできます。ただし、暗黙の定数係数はSzemerédiの正則補題によって保証されたブロックの数に関連しているため、アプリケーションには役に立たないほど小さいように見えます。 $\Omega(n \log n)$

したがって、パスの場合のより正確な下限は $p$ 。これが真の下限であることは確信が持てません。そのような限界を達成する可能性は低いようですへの真の依存は、反比例よりも弱いようです。ただし、限界は少なくとも $\frac{1}{p}(n\log n - n(\log\log n + 3/2))$ $p$ 、改善。 $\Omega(\frac{1}{p}n\log n)$ $\Omega(n/p)$

— アンドラスサラモン
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