行列式を近似することの意味

$n\times n$ $\log^2(n)$ $1$ $\left\|A\right\|\leq 1$ $1/\text{poly}$

この点で、求めるべき「正しい」近似は何でしょうか-乗法的または加算的ですか？（以下の回答のいずれかを参照してください）。

determinant cc.complexity-theory

— リオール・エルダー
ソース

これらはリアルRAM上にあるはずですか？

$\:$

質問を適切に理解しているかどうかはわかりませんが、算術の精度を参照する場合、各実数はlog（n）ビットに格納されていると仮定します。

— リオールエルダー

質問の詳細を適切に理解していないリスクがある：任意の因子内で行列式を近似できるようにするためには、正方行列が特異かどうかを決定できる必要があります。

1つには、一般的なグラフが完全に一致するかどうかのランダム化テストを提供します（Tutte行列とSchwarz-Zippelを使用）。私は後者がランダム化されたログスペースで知られているとは思わない（例えば、Complexity Zooは2部の完全一致をNLのハードとしてリストしている）。

— マグヌス・ヴァルストローム
ソース

Magnusに感謝しますが、実際には加法近似誤差を考えていました。その場合、行列が特異かどうかを区別する必要はありません。Multilipcative近似も興味深い場合があるため、現時点では、何が最良の定義かはわかりません。

— リオール

@LiorEldar、確かに加法近似誤差があっても、行列のエントリが整数で、加法誤差限界が0.5未満の場合、確実な特異性テストがありますか？

— ピーターテイラー

こんにちはピーターテイラー、私はあなたがサポートする最大の演算子ノルムを指定するために最初に何らかの形で必要と言う、0.5精度を言うと思うと思います。したがって、たとえば、あなたの入力の場合

有し

、次にあなたの決定因子添加誤差があってもよい

近似誤差よりもはるかに小さい

に対して

A

$A$

‖ A ‖ \leq 1

$\left\|A\right\|\leq 1$

。したがって、入力が切り捨てられた整数（各

ビット

として与えられたとしても、行列式を近似する必要がある最大ノルムは、整数に関して

になります。つまり、

1 / p o l y (n)

$1/poly(n)$

l o g (n)

$log(n)$

n^{n}

$n^n$

0.5

$0.5$

1 / p o l y (n)

$1/poly(n)$

。

‖ A ‖

$\left\|A\right\|$

— リオールエルダー

標準に比べて加法的エラーの問題は、実際にはうまくスケールしないということです。たとえば、

に対して

近似誤差を与えるアルゴリズムがあったとします

。今せて

である

使用して形成されたブロック対角行列

のコピー

ブロックとして。その後

1 / p o l y (n)

$1/poly(n)$

| | A | |

$||A||$

A^{'}

$A'$

n^{3} \times n^{3}

$n^3 \times n^3$

n^{2}

$n^2$

A

$A$

| | A | | = | | A^{'} | |

$||A||=||A'||$ 、ただし、

なので、a

用添加誤差

にスケール

用添加誤差

。

det (A^{'}) = det (A)^{n^{2}}

$\det(A')=\det(A)^{n^2}$

| | A^{'} | | / p o l y (n)

$||A'||/poly(n)$

d e t (A^{'})

$det(A')$

O (1)

$O(1)$

d e t (A)

$det (A)$

— ケビンコステロ