Gap-3SATは、平均よりも有意に多くの句に変数のペアが表示されない3CNF式でもNP完全ですか？

この質問で、3CNF式とは、各句に 3つの異なる変数が含まれるCNF式を意味します。定数0 < S <1、GAP-3SAT _sが、次の約束の問題です：

Gap-3SAT _の
インスタンス：3CNF式φ。
はい-約束：φは充足可能です。
約束なし：真の代入は、φの節のs部分以上を満たしません。

有名PCP定理[AS98、ALMSS98]を状態と等価な方法の一つは、定数が存在することであり、0 < S <1ギャップ3SATよう_sは NP完全です。

別個の変数のすべてのペアが最大でB句に現れる場合、3CNF式はペアワイズB境界であると言います。例えば、3CNF式は、（X ₁ ∨ X ₂ ∨ X ₄）∧（¬ X ₁ ∨¬ X ₃ ∨ X ₄）∧（X ₁ ∨ X ₃ ∨¬ X ₅）ペアワイズ2境界ではなく1対毎でありますたとえば、ペア（x ₁、x ₄）が複数の句に現れるためです。

質問。行う定数が存在B ∈ℕ、> 0、および0 < S <1ギャップ3SATよう_sは NP完全であってもペアワイズある3CNF式ためであるBは -boundedと少なくともから成る²節、n個変数の数は？

ペアワイズ有界性は、O（n ²）句のみがあることを明確に暗示しています。節の数の2次の下限と合わせて、大まかに言って、明確な変数のペアは平均よりもかなり多くの節に現れないということです。

ギャップ3SATため、することが知られている疎な場合には困難である：定数が存在0 < S <1ギャップ3SATよう_sはあっても、各変数が正確に5回【Fei98]を発生3CNF式ためNP完全です。一方、密集したケースは簡単です。Max-3SATは、Ω（n ³）の別個の節[AKK99] を持つ3CNF式のPTASを認めているため、この場合_の Gap-3SAT は、すべての定数0 < s <1。質問では、これら2つのケースの中間について質問しています。

上記の疑問は、量子計算の複雑さ、より具体的には絡み合った証明者（MIP ^*（2,1）システム）を備えた2証明者、1ラウンドの対話型証明システムの研究で発生しました。しかし、この質問はそれ自体興味深いものになると思います。

参照資料

[AKK99] Sanjeev Arora、David Karger、およびMarek Karpinski。NP困難問題の密なインスタンスのための多項式時間近似スキーム。 コンピュータとシステム科学誌、58（1）：193から210まで、2月1999 http://dx.doi.org/10.1006/jcss.1998.1605

[ALMSS98] Sanjeev Arora、Carsten Lund、Rajeev Motwani、Madhu Sudan、およびMario Szegedy。証明検証と近似問題の難しさ。 ACMのジャーナル、45（3）：501から555、1998年5月 http://doi.acm.org/10.1145/278298.278306

[AS98] Sanjeev AroraとShmuel Safra。プルーフの確率的チェック：NPの新しい特性。 ACMのジャーナル、45（1）：70から122、1月1998 http://doi.acm.org/10.1145/273865.273901

[Fei98] Uriel Feige。セットカバーを近似するためのln nのしきい値。 ACMのジャーナル、45（4）：634から652、1998年7月 http://doi.acm.org/10.1145/285055.285059

cc.complexity-theory sat approximation-hardness

— 伊藤剛
ソース

@剛：

と

間の他の中間のケースについて何も知られていないと推測するのは正しいでしょうか？

m = O (n)

$m = O(n)$

m = Ω (n^{3})

$m = \Omega(n^3)$

— アンドラスサラモン

@András：中間のケースに関する以前の結果は知りませんが、次のケースのNP完全性の証拠だと思うものがあります。（1）ペアワイズ境界、

句、ただしギャップなし。（2）ギャップがある場合、任意の定数d <3の

句ですが、必ずしもペアワイズ境界ではありません。（3）ギャップ、ペアワイズ境界、任意の定数d <2の

節。（1）の証明は、[Fei98]からの単純な縮小です。（2）の証明は、Ailon and Alon 2007による結果の一部を使用しています。（3）の証明では、エキスパンダーを使用します。

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

Ω (n^{d})

$\Omega(n^d)$

Ω (n^{d})

$\Omega(n^d)$

— 伊藤剛

@剛：あなたの論文を読むのを楽しみにしています。

— アンドラスサラモン

答えを持っていませんが、m個の節のランダム3CNFが充足不能であることを証明する方法は、この問題はあなたが健全に必要な少なくともあれば、簡単に示すには、ここで成功できるかどうかは確認します

近い7/8にします。そこを超えている一度これらの作品が成功

節とセミランダムモデルに拡張されました（平滑化3CNF反論にFeige FOCS 07を参照してください）。しかし、ここでの強さは、ここでの

のケースでさえNP困難であることを示したようです。

s

$s$

n^{1.5}

$n^{1.5}$

n^{1.9}

$n^{1.9}$

— ボアズバラク

Boaz、すべての変数を

コピーに置き換え、次にすべての節を

節に置き換え、元の節の各変数をあらゆる方法でコピーに置き換えることにより、3SATのインスタンスを常に「高密度化」できます。これにより、前と同じ節の割合が満たされるインスタンスが得られますが、n個の変数とm個の節からnM個の変数と

節に移動するため、出現回数にさらに制約を課すことなく、健全

さえして式中

変数と

句。

M

$M$

M^{3}

$M^3$

m M^{3}

$mM^3$

7 / 8 + ϵ

$7/8 + \epsilon$

N

$N$

N^{2.999}

$N^{2.999}$

— ルカ・トレビーザン

完全な答えではありませんが、うまくいけば近いです。これは、上記のルカのコメントに非常に近いものです。私は答えは少なくともに存在定数がないことであると信じB ∈ℕ、> 0で、0 < S <1ギャップ3SATよう_sは NP完全であってもペアワイズある3CNF式ためであるBは、 -boundedとから構成され少なくとも節、任意の定数の。 $an^{2-\epsilon}$ $\epsilon$

その証拠は次のとおりです。GAP-3SAT考えてみましょうインスタンス上の各変数は、ほとんどの5倍に出現する変数を。あなたが質問で言うように、これはNP完全です。 $_s$ $\phi$ $N$

次のように、新しいインスタンスを作成します。 $\Phi$

すべての変数のために中で、持っているの変数。 $x_i$ $\phi$ $\Phi$ $n$ $y_{ij}$
インデックスのすべてのセットについて、およびと、節の一対有する、及び。彼らがいることを確認してくださいので、私は比較句としてこれらを参照してくださいよ、それらが満たされている場合。 $i$ $a$ $b$ $a\neq b$ $\Phi$ $y_{ia}∨￢y_{ib}∨￢y_{ib}$ $y_{ib}∨￢y_{ia}∨￢y_{ia}$ $y_{ia} = y_{ib}$
内のすべての条項のためにの変数に作用する、および、すべてのためにと、等価句、含まによって置換され、により置換されとは置き換えられます（ここでは法として加算が行われます）。これらを継承句と呼びます。 $\phi$ $x_i$ $x_j$ $x_k$ $a$ $b$ $\Phi$ $x_i$ $y_{ia}$ $x_j$ $y_{jb}$ $x_k$ $y_{k(a+b)}$ $n$

変数の総数は、です。注は比較句と $m = nN$ $\Phi$ $2Nn^2$ 継承句、合計 $\frac{5}{3}Nn^2$ 句。服用我々はおよび句の総数 $\frac{11}{3}Nn^2$ $n = N^k$ $m = N^{k+1}$ 。我々が取る、そう。 $C = \frac{11}{3}N^{2k+1} = \frac{11}{3}m^{2-\frac{1}{k+1}}$ $k = \epsilon^{-1} - 1$ $C \propto m^{2-\epsilon}$

次に、はペアワイズ8 です（比較句から最大2、継承句から最大6）。 $\Phi$

最後に、が満足できない場合、少なくとも句は満足されません。今、場合いずれかのために、次いで少なくとも句は不満足です。固定の継承句のセット内不満足な句を満たすために、変数の割り当ておよび $\phi$ $(1-s)N$ $y_{ia} \neq y_{ib}$ $a,b$ $n-1$ $(1-s)N$ $a,b$ $y_{:a}$ 、 $y_{:b}$ は少なくともで異なる必要があります $y_{:(a+b)}$ 位置、少なくとも残す $\frac{1-s}{5}N$ 比較不満足条項。すべての選択のためのこの必須ホールドと、そう少なくとも $\frac{1-s}{5}N(n-1)$ $a$ $b$ 比較句は、継承された句が十分に満たされるように、全体として不満のままでなければなりません。ただし、すべての比較句が満たされている他の極端を見ると、 $\approx \frac{1-s}{5}Nn^2 = \frac{3(1-s)}{11}C$ 句は満足できません。したがって、ギャップが残っています（縮小されていますが） $(1-s)Nn^2 = (1-s)m^{\frac{2k+1}{k+1}} = (1-s)C$ 。 $s' = \frac{4+s}{5}$

定数はおそらくダブルチェックする必要があります。

— ジョー・フィッツシモンズ
ソース

ジョー、ありがとう。これが明確でない場合は申し訳ありませんが、この質問では、各句の3つの変数をすべて個別にする必要があります。したがって、記述されている比較句は使用できません。エクスパンダーグラフを使用する同じ事実（ペアワイズ境界、Ω（n ^（2-ε））句、ギャップあり）の証拠がありますが、エクスパンダーを使用せずに証明できる場合、私は非常に興味があります。

— 伊藤剛

@剛：ああ、なるほど。実際、私は最初に明確な変数でそれを自分自身に証明したので、あなたが望む形にそれを入れるのは非常に簡単な週があります。比較句をわずかに異なる方法で簡単に割り当てます。私があなたに与えた2つの節の代わりに、4が必要です：

y_{i a} \lor ￢ y_{i b} \lor ￢ y_{i (a + b)}

$y_{ia}∨￢y_{ib}∨￢y_{i(a+b)}$ ,

y_{i a} \lor ￢ y_{i b} \lor y_{i (a + b)}

$y_{ia}∨￢y_{ib}∨y_{i(a+b)}$ ,

￢ y_{i a} \lor y_{i b} \lor ￢ y_{i (a + b)}

$￢y_{ia}∨y_{ib}∨￢y_{i(a+b)}$ and

￢ y_{i a} \lor y_{i b} \lor y_{i (a + b)}

$￢y_{ia}∨y_{ib}∨y_{i(a+b)}$ . Clearly these reduce to the same 2 variable clauses as before. Obviously this tweeks the constants, but doesn't make any other difference.

— Joe Fitzsimons

Perhaps there is a way to get around the

ϵ

$\epsilon$ factor by taking

k = k (n)

$k = k(n)$ , though the most naive implementation of this gives instances that grow very slightly faster than polynomially.

— Joe Fitzsimons

I will check the details more carefully later, but the idea of using a, b, and (a+b) seems to work. This should free me from dealing with expanders explicitly. Thanks!

— Tsuyoshi Ito

No problem. Glad I could be of help.

— Joe Fitzsimons