一般化された15パズルの決定問題のNP完全性

有名な15パズルの自然な一般化に興味があります。指定されたすべての番号を並べ替えるまでブロックをスライドさせる必要があります（通常は1ブロックのギャップがあります）。

現在、一般化はパズルのサイズを15からに拡張することであり、1つのフィールドは空いています。小さなイラストを作成しました（破線の矢印は許可された動きを示し、下の構成は解決されたパズルを示しています）。$p \times q$

パズルの初期構成を考えると、次の質問を自問します。

決定の質問：サイズパズルと、数値与えます。パズルを解決された構成に変換する以下の許可された動きのシーケンスはありますか？$p \times q$$k \in \mathbb{N}$$k$

私はすでにいくつかの調査を行なったし、記事「見つかった -puzzleおよび関連移転の問題のために私の質問を決定することを示している1990年から」、私の質問を決定することはNPであることがNP完全であるとし-完了（一般的なアルゴリズムでも対称フィールドの質問を決定できるため）。$(n^2−1)$$p=q$

未解決の問題は、決定問題が固定 NP完全であるかどうかです。特別なケースに特に興味があります。また、1つのフィールドよりも多くの空きスペースを許可すると、意思決定の問題がより困難または容易になります。$q>1$$q=2,3$

悲しいことに、私が見つけることができるすべての記事では、非対称のケースが省略されているため、これに関する既知の結果はないと思われます。記事の証明は非常に複雑で、高さを固定してもまったく翻訳されないので、誰かが質問のいくつかに答える別の縮小/記事を思いつくことを望みます。

その他の関連記事（拡張予定）：

• http://larc.unt.edu/ian/pubs/saml.pdf
• http://red.cs.nott.ac.uk/~gxk/papers/icga2008_preprint.pdf
• http://erikdemaine.org/papers/AlgGameTheory_GONC3/

私は私の問題に対する部分的な（かなり残念な）答えを見つけたと思います：

私はこの論文に出くわしました（2007）：

「三次元チャネルルーティングの複雑さ」田有at、上野修一

彼らは（定理4）「2ネット」と次元の「3dチャンネルルーティング問題」は、対応する（詳細については記事を参照）p × q − 1パズルが解決しました。$p,q$$p \times q-1$

定理1の下で、彼らは「2.5-Dチャンネルルーティング」と呼ばれる問題を提案します。これは基本的に固定の深さ「3dチャンネルルーティング」です。彼らはまた、「次のような問題の複雑[2.5-Dチャネルルーティング]は任意fxed整数のためのオープンであると言うK ≥ 2」。$k$$k \geq 2$

$p \times q-1$$k \geq 2$$k$

$p \times q-1$$k$$2$