「

1. 「」を一次式としてどのように表現できますか？$P=PSPACE$
2. 算術階層のどのレベルにこの式が含まれていますか（そして、それを含む階層の現在既知の最小レベルは何ですか）

参考までに、Liptonによるこのブログ投稿を参照してください。

まず、私は、それが「偽」が発現することが示唆された質問へのコメントに対処したいPを= P S P A C E文があるためである偽。これは良い冗談かもしれませんが、このように考えることは実際には非常に有害です。特定の文を特定の正式なシステムでどのように表現するかを尋ねるとき、私たちは真理値について話しているのではありません。もしそうだとしたら、誰かが「素数が無限に多いという事実をどのように書き留めればよいのか」と尋ねたとき、「3 + 3 = 6」と答えることはできますが、これは明らかにうまくいきません。同じ理由で、「false」は「」に対する有効な回答ではありません$P = PSPACE$$P = PSPACE$？ "。私はフレゲとラッセルが私たちにそのレッスンを教えるために一生懸命に努力したと思います。

私が表現する方法をお見せしましょうP S P A C E ⊆ Pを、他の方向が似ており、その後、あなたが得るために一緒にそれらを一緒に置くことができるP S P A C E = Pを。いずれにせよ、あなたの目的のために、それだけで表現するのに十分であるP S P A C E ⊆ Pをあなたが何をしているかに応じて、。$PSPACE \subseteq P$$PSPACE = P$$PSPACE \subseteq P$

構成と同様の手法用いクリーネの述語$T$、我々は有界quantifer式を構築することができ、A 、C 、C 、E 、P 、T 、S 、P 、A 、C 、E（K 、M 、N ）このように存在する（Σ 0 0 = Π 0 0）「kでエンコードされたマシンを実行し、そのスペース使用量を| n | mにバインドすると、マシンは入力nを受け入れます。」ここに| n $accept_{space}(k, m, n)$$\Sigma^0_0 = \Pi^0_0$$k$$|n|^m$$n$$|n|$nの長さです。このような式が存在することを非公式に確認する方法は次のとおりです。k、m、およびnを指定すると、必要な時間とスペースの量に対するプリミティブな再帰的な境界を計算できます（つまり、最大で| n | mスペースと最大2 | n | m時間）。次に、計算された境界内にあるすべての可能な実行トレースを単純に検索します。このような検索はかなり効率的ではありませんが、プリミティブな再帰的であり、制限付きの式として表すことができます。$n$$k$$m$$n$$|n|^m$$2^{|n|^m}$

同様の式a c c e p t t i m e（k 、m 、n ）があり、実行時間は|によって制限されます。n | m。$accept_{time}(k, m, n)$$|n|^m$

今の式を考える： ∀ K 、M 。∃ K '、M '。∀ n個。C 、C 、E 、P 、T 、S 、P 、A 、C 、E（K 、M 、N ）⇔ A 、C 、C 、E 、P 、T 、T iがmはE（K '、M '、N ）。 それはすべてのマシン

$$\forall k, m . \exists k', m' . \forall n . accept_{space}(k,m,n) \Leftrightarrow accept_{time}(k',m', n).$$ $k$ほとんどスペースを使用します| n | mほとんどの場合に使用するマシンk ′があります。n | 2つのマシンがまったく同じnを受け入れるようなm ′。換言すれば、式は言うP S P A C E ⊆ Pを。この式は、Π 0 3。$|n|^m$$k'$$|n|^{m'}$$n$$PSPACE \subseteq P$$\Pi^0_3$

代わりに「T Q B F is polytime」という文を表現したい場合は、これを改善できます。これは、TQBFがPSPACE完全であり、したがって、ポリタイムであることはP S P Aと同等であるため、ほとんどのアプリケーションにとって十分なはずです。C E ⊆ P。してみましょうK 0 BE（のコード）空間にTQBFを認識し、マシンは| n | m 0。次いで、 " T Q B F ∈ Pは "と表現することができる ∃ K '、M '$TQBF$$PSPACE \subseteq P$$k_0$$|n|^{m_0}$$TQBF \in P$∀ n個。C 、C 、E 、P 、T 、S 、P 、A 、C 、E（K 0、M 0、N ）⇔ A 、C 、C 、E 、P 、T 、T iがmはE（K '、M '、N ）。 この式は、単にある Σ 0 2。もし私が複雑な理論家だったら、もっと上手くやることができるかどうかはわかります（しかし私はそれを疑います）。

$$\exists k', m' . \forall n . accept_{space}(k_0, m_0, n) \Leftrightarrow accept_{time}(k', m', n).$$ $\Sigma^0_2$

アンドレイは既に説明したP = P S P A C Eは、のように書くことができるΣ 0 2 -sentence。私はこの分類は、文はと同等であればという意味で最適であることを言及してみましょうΠ 0 2 -sentence、この事実が相対化されません。より正確には、オラクルのセットようにP A = P S P A C E Aは、によって定義可能であるΣ 0 2自由な二次変数と-formula $P=\mathit{PSPACE}$$\Sigma^0_2$$\Pi^0_2$$A$$P^A=\mathit{PSPACE}^A$$\Sigma^0_2$$A$が、それはいずれかによって定義可能ではありませんΠ 0 2 -formula。引数は、https：//mathoverflow.net/questions/57348のコメントで概説されています（P = N Pの場合ですが、P S P A C Eの場合も同じように機能します）。（実際には、一つのセットであるという考えを精緻化することによって示すことができるΣ 0 2適切な意味で-complete。）$\Pi^0_2$$P=\mathit{NP}$$\mathit{PSPACE}$$\Sigma^0_2$

編集：リンクされたコメントで与えられたトポロジー証明は短いですが、トリッキーに見えるかもしれません。ここに直接強制的な議論があります。

P A ≠ P S P A C E Aのように書くことができる Π 0 2形式の-formula φ （A ）= ∀ $P^A\ne\mathit{PSPACE}^A$$\Pi^0_2$∃ Yθ （A 、X 、Y ）、 θがある Δ 0 0。ことを矛盾のために想定 P A = P S P A C E Aはまた、と等価である Π 0 2 -formula ψ （A ）= ∀ $\phi(A)=\forall x\,\exists y\,\theta(A,x,y)$$\theta$$\Delta^0_0$$P^A=\mathit{PSPACE}^A$$\Pi^0_2$∃ Zη （A 、x 、z ）。オラクル B、 Cを修正して、 P B ≠ P S P A C E Bおよび P C = P S P A C E Cとなるようにします。$\psi(A)=\forall x\,\exists z\,\eta(A,x,z)$$B$$C$$P^B\ne\mathit{PSPACE}^B$$P^C=\mathit{PSPACE}^C$

以来、φ （B ）、が存在するY 0ようにθ （B 、0 、Y 0）。ただし、θは有界の式であるため、θ （B 、0 、y 0）の真理値の評価では、オラクルの有限部分のみが使用されます。このように、有限の部分が存在するbは0のBようにθ （A 、0 、Y 0）すべてのOracleの$\phi(B)$$y_0$$\theta(B,0,y_0)$$\theta$$\theta(B,0,y_0)$$b_0$$B$$\theta(A,0,y_0)$Aの拡張 b 0。$A$$b_0$

LET C [ B 0 ]表す延びオラクルbは0、およびと一致C B 0が定義されていません。以来、P AおよびP S P A C E Aは、 Oracleで有限の変化によって影響を受けない、我々はψ （C [ bが0 ] ）。上記と同じ引数によって、存在するZ 0有限部C 0のC [ B 0$C[b_0]$$b_0$$C$$b_0$$P^A$$\mathit{PSPACE}^A$$\psi(C[b_0])$$z_0$$c_0$$C[b_0]$そのため、c 0を拡張するすべてのAに対してη （A 、0 、z 0）。c 0がb 0を拡張すると仮定することができます。$\eta(A,0,z_0)$$A$$c_0$$c_0$$b_0$

同様に続いて、我々は数字の無限配列を構築Y 0、Y 1、Y 2、...、Z 0、Z 1、Z 2、...、有限部分オラクルB 0 ⊆ C 0 ⊆ B 1 ⊆ C 1 ⊆ B 2 ⊆ ⋯よう$y_0,y_1,y_2,\dots$$z_0,z_1,z_2,\dots$$b_0\subseteq c_0\subseteq b_1\subseteq c_1\subseteq b_2\subseteq\cdots$

1. θ （A 、n 、y n）は、 b nを拡張するすべてのオラクル$\theta(A,n,y_n)$$A$$b_n$

2. c nを拡張するすべてのオラクル Aのη （A 、n 、z n）。$\eta(A,n,z_n)$$A$$c_n$

ここで、Aをすべてのb nとc nを拡張するオラクルとします。次に、1と2は、ϕ （A ）とψ （A ）が同時に成立することを意味します。これは、これらが互いに補数であるという仮定に矛盾します。$A$$b_n$$c_n$$\phi(A)$$\psi(A)$