幅/高さ1の最小数の長方形を2Dグリッドにフィット

特定の正方形が占有されている2Dグリッド（たとえば、チェス盤）が与えられ、w = 1またはh = 1である任意のサイズwxhの重複しない長方形の最小数を配置する必要があるという問題を考えます（つまり、「正方形」セグメント」）すべての占有されていない正方形がカバーされ、各長方形は占有されていない正方形のみをカバーします。

たとえば、グリッドの場合

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次のように、空いているすべての正方形（ '。'で示されている）を4つの長方形でカバーできるため、解は4になります。

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12333
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1#444

私は多項式アルゴリズムを考え出すか、この問題がNP困難であることを証明しようとしましたが、成功しませんでした。これがPに問題があることを証明/反証するのを手伝ってくれる人、またはいくつかの関連する作業/問題を指摘してくれる人はいますか？

さて、整数長の軸に平行な辺と、場合によっては穴（カバーしたい形状）を備えたポリゴンがあり、それを可能な限りまたは長方形に分割したいとします。最初は、任意の形状の長方形への最小分割が必要だと思いました。これには、2部グラフの最大独立セットへの削減を含む既知の多項式時間解があります。しかし、これも多項式で、同じ問題を別の方法で削減したものだと思います。1 × a b × $P$$1\times a$$b\times 1$

2つの正方形を区切るすべての単位長さの線分に頂点を持ち、端点を共有する2つの垂直線分ごとに頂点を接続するエッジを持つグラフを描画します。次に、を単位幅の長方形に分割すると、独立したセットと1対1で対応します。頂点場合の線分に対応する、次いで、 2つの正方形により分離正確に与えられる独立したセットに属する対応するパーティション内の互いに同じ矩形に属します。P P G v G s v $G$$P$$P$$G$$v$$G$$s$$v$$s$

この対応関係の下で、私たちは方程式有する所与のパーティション内の矩形の数を表すが、で正方形の数を示し、及び独立集合の基数を表します。これは、一度に1つの独立したset要素を削除することにより、帰納法によって簡単に確認できます。以来、固定されて、最小限最大化と同じである、との最適なパーティション最大独立集合に対応する。しかし、R S P I I S R I P G $R=S-I$$R$$S$$P$$I$$I$$S$$R$$I$$P$$G$$G$は2部グラフ（水平セグメントは垂直セグメントにのみ隣接し、その逆も同様）であるため、その最大独立セットは多項式時間で見つかる可能性があります（Wikipediaのケーニッヒの定理を参照）。