すべての最小セパレーターが独立したセットであるグラフ

背景： う無向グラフの2つの頂点であるG = （V 、E ）。頂点集合S ⊆ Vであり、U 、V -separator場合、UとV の異なる連結成分に属するG - S。u 、v -separator Sの適切なサブセットがない場合、Sはu 、v -separatorであり、Sは最小u 、$u, v$$G=(V,E)$$S\subseteq V$$u,v$$u$$v$$G-S$$u,v$$S$$u,v$$S$$u,v$-セパレータ。設定頂点頂点が存在する場合（最小）セパレータであるU 、VようにSは（最小）であり 、U 、Vの -separatorが。$S\subseteq V$$u, v$$S$$u,v$

G.ディラックのよく知られた定理では、最小セパレータがすべてクリークである場合にのみ、グラフに少なくとも4つの長さの誘導サイクル（三角グラフまたは弦グラフと呼ばれる）がないと述べています。三角グラフが多項式時間で認識できることもよく知られています。

私の質問：すべての最小セパレーターが独立したセットであるグラフとは何ですか？これらのグラフは研究されていますか？そして、これらのグラフの認識の複雑さは何ですか？このようなグラフの例には、ツリーとサイクルが含まれます。

グラフは、このペーパーhttp://arxiv.org/pdf/1103.2913.pdfによって特徴付けられています。

編集：上記の論文では、すべての最小セパレータが独立したセットであるグラフは、正確に1つのコードを持つサイクルを含まないグラフであることが証明されています。

正確に1つのコードを持つサイクルを含まないグラフは、TrotignonとVuskovic、「ユニークなコードとその結果を持つサイクルのないグラフの構造定理」、J。Graph Theory 63（2010）31-67 DOI。この論文の結果として、これらのグラフは多項式時間で認識できます。（ただし、このペーパーでは、独立した最小限のセパレーターへの接続を指摘していませんでした！）

編集（2013年9月17日）：ごく最近（ここを参照）、Terry Mckeeは、すべての最小頂点セパレーターがクリークまたは独立集合であるすべてのグラフについて説明します。これらは、コードグラフとすべての最小頂点セパレータが独立したセットであるグラフの「エッジの合計」であることがわかります。

すべての最小セパレータが独立したセットであるグラフの最も初期の特性は、TA McKee、「独立セパレータグラフ」、Utilitas Mathematica 73（2007）217--224に登場しました。これらはまさに、どのサイクルにも固有のコードがない（または、同等に、すべてのサイクルですべてのコードに交差するコードがある）グラフです。

サイクルが1つだけのコードのないグラフに関する2つの新しい論文があります。これらのグラフを着色して、両方の主契約： http://arxiv.org/abs/1309.2749とhttp://arxiv.org/abs/1311.1928。

後者は、認識アルゴリズムも提供します。しかし、より高速な時間O （m n ）は、TrotignonとVuskovicによる論文で既に提供されています（user13136による回答で引用）。$O(m^2n)$$O(mn)$