プリミティブな再帰関数の組み合わせ

SおよびKコンビネーターがチューリング完全であることはよく知られています。（のみ）プリミティブな再帰関数を生成するのに十分なコンビネーターはありますか？

lo.logic computability

— ニーチェ
ソース

これはあなたが求めていることですか？mathoverflow.net/questions/48006/...

— アンドレイ・バウアー

はい。ただし、型指定されたコンビネータを考慮する必要があります。つまり、とに次の型スキーマを与える必要があります where 、およびメタ変数は、使用するたびに具体的な型にインスタンス化できます。 $S$ $K$

\begin{array}{lcl} K & ： & A \to B \to A \\ S & ： & （ A \to B \to C ） \to （ A \to B ） \to （ A \to C ） \end{array}

$\begin{array}{lcl} K & : & A \to B \to A \\ S & : & (A \to B \to C) \to (A \to B) \to (A \to C) \end{array}$

A, B

$A, B$

C

$C$

$\mathbb{N}$

\begin{array}{lcl} z & ： & N \\ s あなたは c c & ： & N \to N \\ 私 t e r & ： & N \to （ N \to N ） \to N \to N \end{array}

$\begin{array}{lcl} z & : & \mathbb{N} \\ succ & : & \mathbb{N} \to \mathbb{N} \\ iter & : & \mathbb{N} \to (\mathbb{N} \to \mathbb{N}) \to \mathbb{N} \to \mathbb{N} \end{array}$

\begin{array}{lcl} 私 t e r 私 f z & = & 私 \\ 私 t e r 私 f （ s あなたは c c e ） & = & f （ 私 t e r 私 f e ） \end{array}

$\begin{array}{lcl} iter\;i\;f\;z & = & i \\ iter\;i\;f\;(succ\;e) & = & f(iter\;i\;f\;e) \end{array}$

\begin{array}{lcl} 私 t e r & ： & A \to （ A \to A ） \to N \to A \end{array}

$\begin{array}{lcl} iter & : & A \to (A \to A) \to \mathbb{N} \to A \end{array}$

i t e r

$iter$

$\mathit{iter}$

\begin{array}{lcl} p r e d^{'} & = & λ k 。 私 t e r （ z 、 z ） （ λ （ n 、 n^{'} ） 。 （ s あなたは c c n 、 n ） ） k \\ p r e d & = & λ k 。 s n d （ p r e d^{'} k ） \end{array}

$\begin{array}{lcl} pred' & = & \lambda k.\;iter \;(z, z) \; (\lambda (n, n').\; (succ\;n, n))\;k\\ pred & = & \lambda k.\;snd(pred'\;k) \end{array}$

$\mathbb{N} \simeq \mathbb{N} \times \mathbb{N}$

— ニール・クリシュナスワミ
ソース

型付きコンビネータの制限により、これはチューリング完全ではありませんか？型変数は（再帰的に）型変数に対する関数を示すことができますか（たとえば、一部の型DおよびEに対してA = D-> E）

— NietzscheanAI

S

$S$

K

$K$

ニール、ありがとう。教会の数字エンコードを介して、S、Kの観点からz、succ、およびiterを表すことができると考えるのは正しいでしょうか？

— NietzscheanAI

0 \mapsto 0

$0\mapsto 0$

(s u c c x) \mapsto x

$(succ x)\mapsto x$

@Xoff：前任者関数は、に関してよく知られている線形時間定義を持っていますiter。これはcs.stackexchange.com ...上の質問の対象となる可能性

— コーディ