最適なNPソルバー

フィックス SATの検索フォームを、例えばNP完全探索問題。レビン探索は、ある意味で最適なを解くためのアルゴリズムを提供します。具体的には、アルゴリズムは「入力ですべての可能なプログラム実行し、あるが応答返すと、それが正しいかどうかをテストします」です。時間の複雑さを解くプログラムが与えられたという意味で最適です。 $X \subset \lbrace 0,1 \rbrace^* \times \lbrace 0,1 \rbrace^*$ $L$ $X$ $P$ $x$ $P$ $y$ $P$ $X$ 、時間複雑性の満たします $t_P(n)$ $t_L(n)$ $L$

t_{L} (n) < 2^{| P |} p (t_{P} (n))

$t_L(n) < 2^{|P|}p(t_P(n))$

ここで、は正確な計算モデルに依存する固定多項式です $p$

の最適性は、多少強力な方法で定式化できます。すなわち、すべてのための及び解くプログラム約束と時間、時間複雑ので入力に限定満たします $L$ $M \subset \lbrace 0,1 \rbrace^*$ $Q$ $X$ $M$ $t^M_Q(n)$ $t_L^M(n)$ $L$ $M$

t_{L}^{M} (n) < 2^{| Q |} q (n, t_{Q}^{M} (n))

$t_L^M(n) < 2^{|Q|}q(n, t^M_Q(n))$

ここで、は固定多項式です。重要な違いは、あっても、は、たとえば、多項式になる可能性があることです。 $q$ $t^M_Q(n)$ $P \neq NP$

の明らかな「弱さ」は大きな要因ですこの範囲で。同じ形式の境界を満たすアルゴリズムがある場合、それは簡単にわかります多項式で置き換えられます次に、です。これは、答えをハードコーディングすることにより、を特定のインスタンスを解決するプログラムにできるからです。同様に、部分指数関数で置き換えることができます $L$ $2^{|Q|}$ $2^{|Q|}$ $|Q|$ $P = NP$ $Q$ $X$ $2^{|Q|}$ $|Q|$ その後、指数時間仮説に違反します。ただし、次の質問への答えはそれほど明白ではありません（私にとって）：

（多項式階層の例えば、非縮退、一方向関数の有無）必要に応じて指数関数的な時間仮説および他の周知の推測を仮定すると、アルゴリズムが存在する解くすべてのためのSTをと解くプログラム約束と時間、時間複雑ので入力に限定満たします $A$ $X$ $M \subset \lbrace 0,1 \rbrace^*$ $Q$ $X$ $M$ $t^M_Q(n)$ $t_A^M(n)$ $A$ $M$

$t_{A}^{M} (n) < f (| Q |) q (n, t_{Q}^{M} (n)) + g (| Q |)$ $t_A^M(n) < f(|Q|)q(n, t^M_Q(n)) + g(|Q|)$
ここで、は多項式、は部分指数、は任意です $q$ $f$ $g$

答えが正の場合、は多項式ですか？の成長率はどれくらいですか（ETHの下では明らかに少なくとも指数関数的です）？答えが否定の場合、ETHが間違っているが場合、多項式存在できますか？ $f$ $g$ $f$ $P \neq NP$

cc.complexity-theory time-complexity p-vs-np

— ヴァネッサ
ソース

次のアルゴリズム（レビンのアルゴリズムの変形）を検討してください。

最初のアルゴリズムを並行して実行します。さらに、考えられるすべてのソリューションを1つずつ試すブルートフォースアルゴリズムを並行して実行します。（すべてのアルゴリズムを同じ速度で実行します。） $n$

アルゴリズムの1つが解決策を見つけたら停止します。

次の2つの場合を考えます（長さ入力が与えられた場合）。 $x$ $n$

は最初のアルゴリズムの1つです。その後、実行時間は。 $Q$ $n$ $O(n \cdot t^M_Q(n)) \cdot \mathrm{poly}(n)$
は、最初のアルゴリズムの1つではありません（したがって、）。次に、実行時間は、ブルートフォースアルゴリズムの実行時間によって制限されます。実行時間はです。 $Q$ $n$ $n < 2^{|Q|}$ $2^{n^{O(1)}} = 2^{2^{O(|Q|)}}$

我々は

t_{A}^{M} (n) \leq p o l y (n) \cdot t_{Q}^{M} (n) + 2^{2^{O (| Q |)}} .

$t^M_A(n) \leq \mathrm{poly}(n) \cdot t^M_Q(n) + 2^{2^{O(|Q|)}}.$

（ここで、多項式であり、で二重指数関数である、我々は依存向上させることができる上のの依存性悪化によりに。） $f(n)$ $g(n)$ $n$ $g(n)$ $n$ $f(n)$ $n$

— ユリー
ソース

2^{| Q |} t_{Q}^{M} (2^{| Q |})

$2^{|Q|}t^M_Q(2^{|Q|})$