ノイズパリティ（LWE）の下限/硬度の結果

背景：

私は、エラーを伴う学習（LWE）問題の「あまり知られていない」下限（または硬さの結果）を見つけることに興味があります。特定の定義などについては、Regevによる素晴らしい調査をご覧ください。http：//www.cims.nyu.edu/~regev/papers/lwesurvey.pdf

（R）LWEスタイルの仮定の標準タイプは、（おそらく、量子）格子上の（おそらく、理想的な）Shortest Vector Problemへの還元によるものです。SVPの通常の定式化はNP困難であることが知られており、小さな多項式因子に近似するのは困難であると信じられています。（関連：/ almost-polynomial /要因内でCVPを概算することは困難です：http : //dl.acm.org/citation.cfm?id = 1005180.1005182）（量子アルゴリズムの観点から）特定の格子問題（SVPなど）を小さな多項式近似係数に近似することは、非アーベル隠しサブグループ問題（独自の理由で困難であると考えられています）に関連していますが、このための明示的で正式なソースを見たことはありません。

ただし、学習理論のノイジーパリティ問題の結果として生じる硬度結果（任意のタイプ）に興味があります。これらは、複雑度クラスの硬さの結果、具体的なアルゴリズムの下限、サンプルの複雑度の下限、またはプルーフサイズの下限（解像度など）である可能性があります。LWEは、ノイズのあるパリティ/ノイズ付き学習パリティ（LPN）問題の一般化として見ることができる（おそらく明らか）ことが知られています。学習。

自分の周りを見てみると、LPN問題の（わずかに指数関数的でない）上位境界のみが見つかりました。たとえば、http： //www.di.ens.fr/~lyubash/papers/parityproblem.pdf

質問：

学習コミュニティではLPNが難しいと信じられています。私の質問は：なぜですか？

誰もが一生懸命努力したが、まだ誰も優れたアルゴリズムを見つけていないからでしょうか？上記のイタリック体の下限（または私が除外した他の下限）は知られていますか？

答えが非常に明確である場合、既知の内容の簡潔な要約、および/または調査/講義ノートへの参照が素晴らしいでしょう。

多くが不明な場合は、「最先端の」論文が多いほど良いでしょう。:)（事前に感謝します！）

LPN問題は確かに難しいと考えられていますが、私たちが難しいと考えるほとんどの問題のように、その主な理由は多くの賢い人が効率的なアルゴリズムを見つけようとして失敗したことです。

LPNの難易度の最良の「証拠」は、パリティ問題の統計的クエリの次元が高いことです。統計クエリは、ガウス除去（ノイズが導入されると失敗する）、ハッシュ、およびこれら2つに類似する手法を除き、ほとんどの既知の学習アルゴリズムをキャプチャします。統計クエリ以外のアルゴリズムを設計するのは難しく、これが主なボトルネックです。LPNの難しさのその他の証拠は、他の困難な問題との関係です（LWE、SVPなど）。

SQ硬度については、Kearnsの（'98）論文へのリンクがあります。

この問題の上限の進捗については、いくつかの結果があります。

• $2^N$$2^{n / \log n}$
• $O(2^{n / \log\log n})$$O(n^{1 + \epsilon})$
• $k$$\approx O(n^{0.5 k})$$O(n^k)$$O(n^k)$$\eta$$1/2$
• $\approx O(n^{0.8 k})$