ゲーデルの不完全性定理と教会チューリングテーゼの関係

これは素朴な質問かもしれませんが、ここに行きます。（編集-それは賛成を得ていませんが、誰も応答を提供していません。おそらく、質問は私が思ったよりも難しい、不明瞭、または不明確ですか？）

ゲーデルの最初の不完全性定理は、停止する問題の決定不能性の帰結として証明することができます（例えばSipser Ch。6; Scott Aaronsonのブログ投稿）。

私が理解していることから（コメントで確認）、この証明は教会チューリングのテーゼに依存していません。完全で一貫性のある正式なシステムで、チューリングマシンが停止の問題を解決できることを示すことにより、矛盾を導き出します。（一方で、何らかの効果的な手順が停止問題を決定できることを示していた場合、矛盾を得るために教会チューリングのテーゼも仮定する必要があります。）

したがって、この結果は、チューリングマシンの制限が普遍的な制限を意味することを示しているため、チャーチチューリングテーゼを少し直感的にサポートしていると言えます。（Aaronsonのブログ投稿は、確かにこの見解を支持しています。）

私の質問は、逆に進むことでより具体的な何かを得ることができるかどうかです：ゲーデルの定理は教会チューリングの論文に対してどのような形式的な意味合いを持っていますか？たとえば、第1不完全性定理は、任意のチューリングマシンが停止したかどうかを効果的な手順で判断できないことを暗示していることは直感的に可能です。そのような手順の存在は、完全な一貫性のある理論を構築する能力を暗示していると推論するかもしれません。これは正しいです？これらの線に沿って結果はありますか？$\omega$

（私は好奇心を求めています-私は自分でロジックを勉強していません-したがって、これがよく知られているか、研究レベルではないかどうかおaびします。その場合、これを参照リクエストと考えてください！ ！）

関連しているように聞こえますが、そうではない質問：教会の定理とゲーデルの不完全性定理

編集：私は質問をより明確にしようとします！最初に-私の素朴な直観は、ゲーデルの不完全性は、少なくとも、計算可能または不可能なものに対する制限を意味するべきだということです。これらの制限は無条件です。つまり、チューリングマシンだけでなく、計算のすべてのモデルに適用する必要があります。

だから私はこれが事実かどうか疑問に思っています（何らかの意味があるはずですよね？）。そうであると仮定すると、私はそれがどのように教会チューリングのテーゼに影響を与えるのかについて最も興味があります。たとえば、チューリングマシンが停止するかどうかを決定するための効果的な手順の存在は、最初の不完全性定理と矛盾する可能性があります。この結果は、チューリングマシンよりも「はるかに」強力な計算方法はないことを示しています。しかし、この結果は本当ですか？コメントには同様の質問がいくつかあります。これらの質問の1つへの回答、文献の回答へのポインタ、私の全体の推論が根拠外である理由の説明、またはその他のコメントを聞きたいと思います！

ここにあなたを楽しませる哲学的な答えがあります。

ゲーデルの不完全性定理は、ペアノ算術の公式システムに関するものです。そのため、少なくともある程度の解釈がない限り、計算モデルについては何も言いません。

ペアノ算術は、計算不可能な関数の存在を簡単に示します。たとえば、チューリングマシンについて話すのに十分な表現力のある古典的な理論であるため、すべてのチューリングマシンが永久に停止または実行されるという、除外された中間の特定のインスタンスを示しています。それにもかかわらず、ゲーデルの仕事から、計算可能性の重要な概念、すなわち（原始）再帰関数の概念が生まれました。したがって、計算可能性に関連するのは定理そのものではなく、むしろそれらを確立する証明の方法です。

不完全性定理の要点は、証明可能論理を使用して抽象的な形で表現できます、モーダルロジックの一種です。これにより、不完全性定理にPeanoの算術演算と計算可能性をはるかに超える広範な適用可能性が与えられます。特定の固定小数点の原則が満たされるとすぐに、不完全性が始まります。これらの固定小数点の原則は、従来の計算可能性理論によって満たされるため、不完全性の犠牲になります。ペアノ算術の証明可能かつ反論可能な文は分離不可能なce集合を形成するため、従来のゲーデルの不完全性定理は、計算可能性における不完全性現象の帰結と見なすことができます。（私は哲学的に曖昧であり、あなたが数学者として私を理解しようとすると、あなたの頭は傷つきます。）

私は、これらすべてが有効性の非公式の概念（「実際に計算できるもの」）にどのように関係するかについて2つの立場を取ることができると思います：

1. 私たちが知っているすべての人にとって、私たちはかなり大きな有限オートマトンであり、無制限の数で計算できる「チューリングマシン」と呼ばれる架空のスーパーヒーローを熟考することができます。この場合、ゲーデルは非常に優れたストーリーテラーでした。彼の物語がどのように有効性に変換されるかは、現実への想像力の何らかの（必然的に不正確な）適用の問題です。

2. 不完全性現象は多くの状況で自然に発生し、計算可能性のすべての合理的な概念で確かに発生するため、有効性の場合も同じであると結論付けます。たとえば、チューリングマシンをブラックホールに送り、ラジョエルハムキンの無限時間チューリングマシンを計算できるとします。これにより、停止する神託が幼稚園のおもちゃであるという非常に大きな計算能力が得られます。それでも、モデルは、不可分な集合の存在を示すことができる基本条件を満たします。したがって、計算はすべて強力ではなく、不完全さは現実です。

Neelのコメントを強調したいと思います。停止の決定不能性とGodelの不完全性定理の両方の主なツールは次のとおりです。

1. 証明、計算などの構文概念を、数値/文字列およびそれらに対する関係/関数によってエンコードします。
2. ゲーデルの不動点定理。

構文オブジェクトと概念のエンコードは、今日私たちがデジタルコンピューターに慣れていることは明白に思えるかもしれませんが、ユニバーサルコンピューターとソフトウェアに不可欠な独創的なアイデアです。普遍的なシミュレータの存在を証明するために必要なものはすべて彼の論文にあります。

Godelは、これらの構文概念と一般にTMで計算可能な関係/関数を単純な算術式で表現できることも示しています。

要するに、ゲーデルの不完全性証明は次のとおりです。

$T$

1. $Provable_T(x)$$T$$x$$T$
2. $G$$\lnot Provable(x)$$T \vdash G \leftrightarrow \lnot Provable_T(\ulcorner G \urcorner)$

TMの停止問題の決定不能性は、同様の成分を使用します。

1. $Halt(x)$$x$
2. $N$$N$$\lnot Halt(\langle M \rangle)$

$Halt(x)$$T$$T$$T$$T$

$T$$T$$T$

証明は非常に似ており、同じ要素を使用します（ただし、TMに精通しているがロジックにあまり詳しくない人にとっては、停止問題の決定不能性はより単純に見えるかもしれません：決定不能性証明で使用される不動点定理の特定のインスタンスは、ゲーデルの定理で使用される不動点の特定のインスタンスは本質的に同じですが、本質的なアイデアは、数値/文字列とそれらに関する式/関数を使用して構文オブジェクトと概念をエンコードし、不動点定理を適用するだけです）。

$O$$O$$P_O(x)$$O$$O$

ps：
ゲーデルの定理は1931年に公開されているのに対し、チューリングの決定不能性は1936年に公開されていることに注意してください。IIRC、ゴデルは、彼が使用した計算モデルがアルゴリズムの計算可能性の直感的な概念を実際にキャプチャしたと確信していなかったため、ヒルベルトのプログラムの元の目標を解決した結果に完全に満足していませんでした、TMのキャプチャに関するチューリングの哲学的議論の後のみ満足しましたアルゴリズムの計算可能性の直感的な概念。これについては、ゲーデルの収集した作品をご覧ください。