レジームでのボールとビンの分析：ギャップ

個のボールをビンに投げているとします（。LETビンに終わるボールの数である、最も重いビン、こと軽量ビンであり、そして第重いビンです。大まかに言えば、であるため、期待され任意の2つの固定。ユニオン境界を使用すると、期待されます。おそらく、考慮することにより、一致する下限を得ることができます $m$ $n$ $m \gg n$ $X_i$ $i$ $X_\max$ $X_\min$ $X_{\mathrm{sec-max}}$ $X_i - X_j \sim N(0,2m/n)$ $|X_i - X_j| = \Theta(\sqrt{m/n})$ $i,j$ $X_{\max} - X_{\min} = O(\sqrt{m\log n/n})$ $n/2$ ばらばらのビンのペア。この（完全に正式ではない）引数リード米国期待することとの間の隙間 $X_{\max}$ と $X_{\min}$ で $\Theta(\sqrt{m\log n/n})$ 高い確率で。

$X_\max$ とのギャップに興味があり $X_{\mathrm{sec-max}}$ ます。上記の引数は、 $X_\max - X_{\mathrm{sec-max}} = O(\sqrt{m\log n/n})$ である可能性が高いことを示していますが、 $\sqrt{\log n}$ 因子は無関係のようです。の分布について何か知られてい $X_\max - X_{\mathrm{sec-max}}$ ますか？

より一般的には、各ボールが各ビンの負でないスコアに関連付けられており、 $m$ 個のボールを投げた後の各ビンの合計スコアに関心があるとします。通常のシナリオは、フォームスコアに対応し $(0,\ldots,0,1,0,\ldots,0)$ ます。ビンの順列の下でスコアの確率分布が不変であると仮定します（通常のシナリオでは、これはすべてのビンが同等であるという事実に対応します）。スコアの分布を考えると、最初の段落のメソッドを使用して、適切な境界を取得でき $X_{\max} - X_{\min}$ ます。境界には、係数が含まれ $\sqrt{\log n}$ これは、（通常の変数のテール確率を介して）結合境界から来ます。境界に関心がある場合、この係数を減らすことができます $X_{\max} - X_{\mathrm{sec-max}}$ か？

reference-request pr.probability

— ユヴァル・フィルマス
ソース

各スコアは[0,1]にありますか？

— ニールヤング

本当に問題ではありません。常に

なるようにスケーリングできます

[0, 1]

$[0,1]$ 。

— ユヴァルフィルム

回答:

答え： $\Theta\left(\sqrt{\frac{m}{n\log n}}\right)$ 。

中心極限定理の多次元バージョンを適用すると、ベクトルが漸近多変量ガウス分布を持つことがわかりますおよび以下では、がガウスベクトルであると仮定します（ほぼガウスベクトルではありません）。分散ガウス確率変数をすべての追加します（はすべてのから独立しています）。つまり、みましょう $(X_1,\dots, X_n)$

V a r [X_{i}] = m (\frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}}),

$\mathrm{Var}[X_i] = m\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n^2}\right),$

C o v (X_{i}, X_{j}) = - m / n^{2} .

$\mathrm{Cov}(X_i, X_j) = -m/n^2.$

X

$X$

Z

$Z$

m / n^{2}

$m/n^2$

X_{i}

$X_i$

Z

$Z$

X_{i}

$X_i$

(\begin{matrix} Y_{1} \\ Y_{2} \\ ⋮ \\ Y_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} X_{1} + Z \\ X_{2} + Z \\ ⋮ \\ X_{n} + Z \end{matrix}) .

$\begin{pmatrix} Y_1\\Y_2\\ \vdots\\Y_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} X_1+Z\\X_2+Z\\ \vdots\\X_n +Z \end{pmatrix}.$ ガウスベクトルを取得します。各は分散ます：およびすべてのは独立しています：

(Y_{1}, \dots, Y_{n})

$(Y_1, \dots, Y_n)$

Y_{i}

$Y_i$

m / n

$m/n$

V a r [Y_{i}] = V a r [X_{i}] + \underset{= 0}{\underset{⏟}{2 C o v (X_{i}, Z)}} + V a r [Z] = m / n,

$\mathrm{Var}[Y_i] = \mathrm{Var}[X_i] + \underbrace{2\mathrm{Cov}(X_i,Z)}_{=\, 0}+\mathrm{Var}[Z] = m/n,$

Y_{i}

$Y_i$

C o v (Y_{i}, Y_{j}) = C o v (X_{i}, X_{j}) + \underset{= 0}{\underset{⏟}{C o v (X_{i}, Z) + C o v (X_{j}, Z)}} + C o v (Z, Z) = 0.

$\mathrm{Cov}(Y_i, Y_j) = \mathrm{Cov}(X_i, X_j) + \underbrace{\mathrm{Cov}(X_i,Z) + \mathrm{Cov}(X_j,Z)}_{=\, 0} +\mathrm{Cov}(Z, Z) = 0.$

あることに注意してください。したがって、元の問題はを見つける問題と同等です。最初に、簡単にするために、すべてのに分散がある場合を分析します。 $Y_i - Y_j = X_i - X_j$ $Y_{\mathrm{max}} - Y_{\mathrm{sec-max}}$ $Y_i$ $1$

問題。独立したガウスrvが与えられ、平均および分散ます。の期待値を推定します。 $n$ $\gamma_1,\dots, \gamma_n$ $\mu$ $1$ $\gamma_{\mathrm{max}} - \gamma_{\mathrm{sec-max}}$

答え： 。 $\Theta\left(\frac{1}{\sqrt{\log n}}\right)$

非公式の証明。 この問題の非公式な解決策を以下に示します（公式にするのは難しくありません）。答えは平均に依存しないため、と仮定し。ましょう、。（適度に大きい） $\mu = 0$ $\bar\Phi(t) = \Pr[\gamma > t]$ $\gamma\sim{\cal N}(0,1)$ $t$

\bar{Φ} (t) \approx \frac{1}{\sqrt{2 π} t} e^{- \frac{1}{2} t^{2}} .

$\bar\Phi(t)\approx \frac{1}{\sqrt{2\pi}t} e^{-\frac{1}{2}t^2}.$

ご了承ください

$\Phi(\gamma_i)$ はに均一かつ独立して分布してい。 $[0,1]$
$\Phi(\gamma_{\mathrm{max}})$ の中で最小である、 $\Phi(\gamma_i)$
$\Phi(\gamma_{\mathrm{sec-max})}$ は中で2番目に小さいです。 $\Phi(\gamma_i)$

したがって、は近く、は近くなります（濃度はありませんが、そうでない場合）定数を気にするこれらの推定値は十分です;実際、定数を気にすればかなり良いのですが、それには正当化が必要です）。の式を使用すると、 $\Phi(\gamma_{\mathrm{max}})$ $1/n$ $\Phi(\gamma_{\mathrm{max}})$ $2/n$ $\bar\Phi(t)$

2 \approx \bar{Φ} (γ_{s e c - m a x}) / \bar{Φ} (γ_{m a x}) \approx e^{\frac{1}{2} (γ_{m a x}^{2} - γ_{s e c - m a x}^{2})} .

$2\approx \bar\Phi(\gamma_{\mathrm{sec-max}})\left/\bar\Phi(\gamma_{\mathrm{max}})\right. \approx e^{\frac{1}{2}\left(\gamma_{\mathrm{max}}^2 - \gamma_{\mathrm{sec-max}}^2\right)}.$

したがって、は whpです。我々は、持っている $\gamma_{\mathrm{max}}^2 - \gamma_{\mathrm{sec-max}}^2$ $\Theta(1)$ $\gamma_{\mathrm{max}}\approx \gamma_{\mathrm{sec-max}} = \Theta(\sqrt{\log n})$

γ_{m a x} - γ_{s e c - m a x} \approx \frac{Θ (1)}{γ_{m a x} + γ_{s e c - m a x}} \approx \frac{Θ (1)}{\sqrt{\log n}} .

$\gamma_{\mathrm{max}} - \gamma_{\mathrm{sec-max}}\approx \frac{\Theta(1)}{\gamma_{\mathrm{max}} + \gamma_{\mathrm{sec-max}}} \approx \frac{\Theta(1)}{\sqrt{\log n}}.$

QED

我々は、それを取得

\begin{aligned} E [X_{m a x} - X_{s e c - m a x}] & = E [Y_{m a x} - Y_{s e c - m a x}] \\ = \sqrt{V a r [Y_{i}]} \times E [γ_{m a x} - γ_{s e c - m a x}] = Θ (\sqrt{\frac{m}{n \log n}}) . \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{E}[{X_{\mathrm{max}} - X_{\mathrm{sec-max}}}] &= \mathbb{E}[{Y_{\mathrm{max}} - Y_{\mathrm{sec-max}}}] \\ &= \sqrt{\mathrm{Var}[Y_i]} \times\mathbb{E}[{\gamma_{\mathrm{max}} - \gamma_{\mathrm{sec-max}}}] = \Theta\left(\sqrt{\frac{m}{n\log n}}\right). \end{align}$

任意のスコアがある場合も同じ議論が続きます。その示し
$E [X_{m a x} - X_{s e c - m a x}] = c E [X_{m a x} - X_{m i n}] / \log n .$ $\mathbb{E}[X_{\mathrm{max}}- X_{\mathrm{sec-max}}] = c\, \left. \mathbb{E}[X_{\mathrm{max}}- X_{\mathrm{min}}]\right/\log n.$

— ユリ
ソース

ありがとう！次回は多変量ガウス近似を試すことを忘れないでください。

— ユヴァルフィルム

ユリー、あなたは「すべての分散ガウスベクトルを追加します。ガウスベクトルを取得します。各は分散あり、すべてのはそうではありません」相関...注意してください。 " この部分を拡張できますか？ある？場合さんが依存している、とさんは、独立した（または一様に同じ）され、どのようにすることができますさんは独立していますか？（きちんとしたトリックのようですが、私はそれを理解していません。）ありがとう。

Z

$Z$

m / n^{2}

$m/n^2$

X_{i}

$X_i$

(Y_{1}, \dots, Y_{n})

$(Y_1, \dots, Y_n)$

Y_{i}

$Y_i$

m / n

$m/n$

Y_{i}

$Y_i$

Y_{i} - Y_{j} = X_{i} - X_{j}

$Y_i - Y_j = X_i - X_j$

Z_{i} = Z_{j}

$Z_i = Z_j$

X_{i}

$X_i$

Z_{i}

$Z_i$

Y_{i}

$Y_i$

— ニールヤング

@NealYoung、はい、私たちは、変数がある場合負のペアワイズ相関を持つとし、すべての共分散である等しい、我々は追加することができ、単一の新しいランダム変数全てによう合計は独立しています。また、変数が正の相関を持ち、すべての共分散が等しい場合、すべての差が独立するように、それらすべてから単一のrv減算できます。ただし、はから独立しているのではなく、

X_{1}, \dots, X_{n}

$X_1,\dots,X_n$

C o v (X_{i}, X_{j})

$\mathrm{Cov}(X_i,X_j)$

Z

$Z$

X_{i}

$X_i$

C o v (X_{i}, X_{j})

$\mathrm{Cov}(X_i,X_j)$

Z

$Z$

Z

$Z$

X_{i}

$X_i$

Z = α (X_{1} + \dots + X_{n})

$Z=\alpha (X_1 + \dots+X_n)$ スケーリングパラメータ。

α

$\alpha$

— ユーリー

ああ、なるほど。少なくとも代数的には、Zと各ペアごとの独立性のみに基づいています。とてもかっこいい。

X_{i}

$X_i$

— スレシュヴェンカト

この引数は、EC.14の論文（属性付き）dl.acm.org/citation.cfm?id=2602829に表示されます。

— ユヴァルフィルマス

最初の質問については、whpがことを示すことができると思います。これはことに注意してください。 $X_{\max}-X_{\textrm{sec-max}}$

o (\sqrt{\frac{m}{n} \frac{\log^{2} \log n}{\log n}}) .

$o\left(\sqrt{\frac{m}{n}\frac{\log^2\log n}{\log n}}\right).$

o (\sqrt{m / n})

$o(\sqrt{m/n})$

ランダム実験を次の選択肢と比較してください。最初のバケットのいずれかの最大負荷をとします。してみましょう最後のいずれかの最大荷重もバケット。 $X_1$ $n/2$ $X_2$ $n/2$

考慮して、上部に結合している。また、少なくとも半分の確率で、。したがって、大まかに言えば、はと同様に分布します。 $|X_1-X_2|$ $X_{\max}-X_{\mathrm{sec-max}}$ $|X_1-X_2| = X_{\max}-X_{\mathrm{sec-max}}$ $X_{\max}-X_{\mathrm{sec-max}}$ $|X_1-X_2|$

勉強するには、高い確率でボールが最初のビンに投げられ、同様に最後のビンにも投げられることに注意してください。したがって、とはそれぞれ、ボールをビンに投げたときの最大負荷のように基本的に分散されます。 $|X_1-X_2|$ $m/2\pm O(\sqrt m)$ $n/2$ $n/2$ $X_1$ $X_2$ $m' = m/2\pm o(m)$ $n' = n/2$

この分布はよく研究されており、幸いなことに、この議論については、その平均に密接に集中しています。たとえば、、は高い確率で、この回答の上部に表示される量だけ、[ Thm。1 ]。（注：ユリの答えを考えると、この上限はゆるいと思います。）したがって、高い確率でと差も大きくなるため、と違いは最大でこれだけです。 $m' \gg n\log^3 n$ $X_1$ $X_1$ $X_2$ $X_{\max}$ $X_{\mathrm{max-sec}}$

逆に、（やや弱い）下限の場合、任意のに対して、たとえば、その後は少なくともこれは、（単純な結合境界によって）少なくともこれにより、（たとえば）一定の要因内でが期待できると思います。 $t$ $\Pr[|X_1-X_2| \ge t] \ge 3/4$ $\Pr[X_{\max}-X_{\textrm{sec-max}} \ge t]$

Pr [| X_{1} - X_{2} | \geq t \land X_{max} - X_{sec-max} = | X_{1} - X_{2} |]

$\Pr\big[|X_1-X_2| \ge t ~\wedge~ X_{\max}-X_{\textrm{sec-max}} = |X_1-X_2|\big]$

1 - (1 / 4) - (1 / 2) = 1 / 4.

$1 - (1/4) - (1/2) = 1/4.$

X_{max} - X_{sec-max}

$X_{\max}-X_{\textrm{sec-max}}$

— ニール・ヤング
ソース

Thmを見て。1、予想との違いはであり、あなたが書いたものではありません。それはまだよりもはるかに優れてい。

O (\sqrt{(m / n) \log \log n})

$O(\sqrt{(m/n) \log \log n})$

O (\sqrt{(m / n) \log n})

$O(\sqrt{(m/n) \log n})$

— ユヴァルフィルム

Thmによって。1（その3番目のケース）、確率場合、ビン（n個のビンのm個のボールの最大値は私の数学では（）、項は加算絶対項に展開されます私は何を間違えていますか？

ϵ > 0

$\epsilon>0$

1 - o (1)

$1-o(1)$

\frac{m}{n} + \sqrt{\frac{2 m \log n}{n}} \sqrt{1 - (1 \pm ϵ) \frac{\log \log n}{2 \log n}} .

$\frac{m}{n} +\sqrt{\frac{2m\log n}{n}}\sqrt{1-(1\pm\epsilon) \frac{\log\log n}{2\log n}}.$

\sqrt{1 - δ} = 1 - O (δ)

$\sqrt{1-\delta} = 1 - O(\delta)$

\pm ϵ

$\pm\epsilon$

O (ϵ) \sqrt{\frac{m \log n}{n}} \frac{\log \log n}{\log n} = O (ϵ) \sqrt{\frac{m}{n} \frac{\log^{2} \log n}{\log n}} .

$O(\epsilon) \sqrt{\frac{m\log n}{n}}~\frac{\log\log n}{\log n} ~=~O(\epsilon) \sqrt{\frac{m}{n}~\frac{\log^2\log n}{\log n}}.$

— ニールヤング

ああ-私はあなたが正しいと思います。平方根の内部を減算し、それが図を取得する方法です。

— ユヴァルフィルマス