複雑性クラスの代数的（または数値的）不変量

この質問がこのサイトにとってあまりにも単純ではないことを願っています。

数学（トポロジー、幾何学、代数）では、代数的または数値的不変式を考案して2つのオブジェクトを区別し、2つのオブジェクトの値が異なることを証明するのが一般的です。これが複雑度クラスでどの程度試行されているのか（または、そうである場合は、なぜこれについて聞いたことがないのか）と思います。代数的構造は、全体として理論的コンピューターサイエンスで多く表示されます（理論的コンピューターサイエンスでの代数的構造の使用を参照）。

私の初心者では、2つの言語が同等であるという概念を想像できます。これも可逆的な多項式時間削減（または文字列の全単射）の存在です。この概念が不適切であることも想像できます。カーディナリティーが異なる有限言語は、無限言語に関心がある場合でも、同等と見なすことはできません。

興味深い結果をもたらした言語の同型の弱い概念は他にありますか？複雑さのクラスを区別するために使用されている他の種類の数値的にフレーバーされた不変量はありますか？

cc.complexity-theory complexity-classes algebra

— ジェレミー・クン
ソース

ないリソース囲まれた小節フィットは、あなたが探しているもの？

— Sasho Nikolov

これは完全に役立つわけではありませんが、私の（漠然とした）理解は、Mulmuleyの幾何学的複雑度プログラムは基本的にそのような代数的議論に基づいているということです。より有効に、NCの証拠対彼のPがPからそれを分離するためにNCで計算問題の計数特性を使用しています

— スレシュヴェンカト

@SashoNikolov：リソースに制限のある測定の1つの問題は、有限の変動の下で閉じられたクラス（本質的に私たちがこれまでに考えたすべての複雑さのクラスと同様）に対して、測定可能であれば、0または1のいずれかを測定することです。その意味で、数値として不変のリソース制限メジャーは、3つの可能性（メジャー0、メジャー1、または測定不能）のみを提供します。リソースで制限された次元は、より細かい区別を提供できます...

— Joshua Grochow '29

まず第一に、あなたは定義された関係が通常と呼ばれる多項式時間同型（）。同型が検討されている興味深い概念であるが、複雑でより頻繁に関心のある（弱い）の関係は多項式時間である同値：及び（等価である多項式時間がある場合）多対からへの1つの削減（別名Karp削減） $\cong^p$ $A$ $B$ $A \equiv_m^p B$ $A$ $B$ 逆もまた同様ですが、これらの削減は互いに逆である必要はなく、多項式時間の逆でさえ必要ありません。時には、我々はまた、多項式時間チューリング削減ではなく、多くの-1（下同値を気・クックの削減、別名）。たとえば、これらの等価の概念のいずれかは、対に対して「十分」です（つまり、同型クラスを考慮する必要はありません）。 $\equiv_T^p$ $P$ $NP$

多項式時間の等価性の観点から見ると、数値の不変量について聞いていない部分的な「正当な理由」があります。それらは一般に機能しません。Andrew Marksの論文の定理は、が可算のボレル同値関係について完全であると述べています（彼の論文の紹介により、ボレル同値関係とその重要性の概要がわかります）。特に、これはボレル関数がないことを意味し、 iff $\equiv_T^p$ $f: 2^{\mathbb{N}} \to \mathbb{R}$ $A \equiv_T^p B$ $f(A) = f(B)$ 。

$f:2^{\mathbb{N}} \to \mathbb{R}$ $f(A) \neq f(B)$ $A \not\equiv_T^p B$

ただし、自然な複雑性クラスとして表示される同等性クラスの数は比較的少ないので（複雑性動物園の禁止サイズにもかかわらず）、すべての同等性クラスの分類は、私たちが通常気にするものよりも強力です。ただし、言語に関連付けることができる他の「数値」不変式があります。その1つが密度です。言語密度は、関数長さの文字列の数です。密度は、多項式の同型によって、多項式の変化まで保持されますが、必ずしも多項式の時間の同値性によって保持されるわけではありません（たとえば、すべての言語は多項式の時間の等価物ですが、密度は大きく異なる場合があります）。 $A$ $d_A(n) :=$ $A$ $\leq n$ $P$

私たちは、のようなものを知っている：場合多項式スパース（ある）その後、することはできませんない限り、-complete（マヘイニーの定理）。スパース言語とそれらの複雑性クラスとの関係については、他にも多くの結果があります。良い調査については、複雑性理論回顧II（オンラインで入手可能-Googleのみ）のCaiおよびOgiharaの「スパースセットと複雑性クラス」、およびSIGACTニュースのHemaspaandraとGlaßerによる「完璧な明快さの瞬間I、II」の記事のペアを参照してください。 $A$ $d_A(n) \leq poly(n)$ $A$ $NP$ $P=NP$

@SureshVenkatで述べたように、あなたは話している観点から幾何学的複雑性理論を見ることができます。ただし、そこで使用される代数オブジェクト、つまり表現は、数値プロパティ自体よりも言語の一般プロパティに似ていますが、少なくともそれらは代数フレーバーのプロパティです。

最後に、代数的複雑性理論では、言及する価値があるが、大きな問題を解決するためにおそらく機能しない1つの数値特性は次数です。（多項式の次数と同様）。Strassenの次数の境界は、制限のない代数回路で知られている唯一の超線形下限です。学位は、例えば、Razborov-Smolenskyおよび低レベル（ブール）回路の複雑性の他の多くの領域でも使用されます。

— ジョシュア・グロチョウ
ソース