証明システムの背後にある直観

9

私はPTIMEのp-Optimal Proof Systems and Logicに関する論文を理解しようとしています。論文には証明システムと呼ばれる概念があり、私は直感を得られません：

...我々は、サブセットの問題特定における。 $\Sigma = \{0,1\}$ $Q$ $\Sigma^*$

直感は、特定の構造をエンコードすること（たとえば、無向グラフ）であり、これらの構造のサブセットは問題（たとえば、平面グラフ）であると思います。 $\Sigma^*$

証明システム の問題のための全射のである多項式時間で計算可能。 $Q \subset \Sigma^*$ $P:\Sigma^* \to Q$

ここで1つの可能性は、が特定の構造内のすべての可能なモデルのセット（たとえば、すべての無向グラフ）であると言うことです。しかし、無向グラフをサブセットにマッピングする必要があるのはなぜですか？チューリングマシンでエンコードすることもできますが、これも意味がありません... $\Sigma^*$

何か案は？

lo.logic descriptive-complexity proof-complexity

— ヨアヒム
ソース

8

をある種のオブジェクトをエンコードし、をある特性を満たすすべてのオブジェクトのセットと考える。考える受け付ける機能（の符号）ペアとしてオブジェクトであり、の「証拠」主張されている。関数「証拠チェッカー」である：それはそれを検証し実際に有効な証拠ことを表している。ある場合は返し、そうでない場合はデフォルト要素を返します。 $\Sigma^{*}$ $Q$ $P$ $(x, p)$ $x$ $p$ $x \in Q$ $P$ $p$ $x \in Q$ $x$ $Q$

例として、グラフをエンコードし、をハミルトニアングラフの（エンコードの）セットであるとします。可能、このです：としてデコード入力グラフであり、の頂点のリストであり、。がハミルトニアンサイクルであることを確認します。もしそうなら返し、そうでなければ1点のグラフを返します。 $\Sigma^{*}$ $Q$ $P$ $(G, \ell)$ $G$ $\ell$ $G$ $\ell$ $G$ $G$

平面グラフの場合を考えました。適切なを取得するには、平面性のポリタイムチェック可能な証拠の概念が必要です。 $P$

一般に、への入力はペアエンコードする必要はありません。重要なことは、が入力から2つの情報を抽出できることです。問題のオブジェクトと、オブジェクトが属しているという主張されている証拠です。たとえば、一次理論で証明可能なすべての文のセットをとしましょう。ここで、は入力を正式な証明としてデコードします。エンコーディングが無効である場合、それを返します $P$ $(x, p)$ $P$ $Q$ $Q$ $P$ $\top$ 。エンコーディングが有効な証明を表す場合、それは証明によって証明されたステートメントを返します（これは、証明ツリーのルート、または証明の形式に応じて、一連のステートメントの最後の式である可能性があります）。

— アンドレイ・バウアー
ソース

5

あなたは証明システムの入力を考える必要があります証拠のテキストとして要素の。テキストが有効である場合、その、そうでない場合はいくつかの固定されている。私たちは望ん証明が検証しやすいということを意味するのでpolytimeします。 $P$ $\pi$ $q \in Q$ $P(\pi) = q$ $P(\pi)$ $q_0 \in Q$ $P$

例として、が命題トートロジーのセットであり、がヒルベルトスタイルの証明システムであると仮定します。これは、ラインのセットで構成されます。それぞれのシステムは、公理であるか、または派生ルール（通常はModusポネンス）。証明が有効な場合、そのは証明の最後の行を出力する必要があります。それ以外の場合は、出力のようないくつかの固定トートロジー。 $Q$ $P$ $P$ $p \lor \lnot p$

最初の質問に戻ると、は、ある特性を満たす特定のタイプのすべての構造のエンコーディングです。一例はトートロジーです。別の例は、3色分けできないすべてのグラフのセットです。これらのグラフには、ハジョス計算と呼ばれる証明システムがあります。 $Q$

— ユヴァルフィルムス
ソース