証明、障壁、P対NP

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P対NPの問題を解決する証明は、相対化、自然証明、代数化の障壁を克服しなければならないことはよく知られています。次の図は、「プルーフスペース」をさまざまな領域に分割します。たとえば、は相対化および帰化する証明のセットに対応します。（幾何学的複雑性理論）は、もちろん厳密に外側の領域です。 $RN$ $GCT$

いくつかの証明と、それらが属する最もよく知られている地域に名前を付けます。可能な限り最良の方法でそれらを配置します。つまり、証明が相対化、帰化、代数化することがわかっている場合は、だけでなくに配置する必要があります。証明が相対化しても帰化しない場合、などに属します。 $RNA$ $RN$ $R$ ${\setminus}$ $N$

代替テキスト

— シヴァ・キンタリ
ソース

しかし、P 対 NPの既知の有効な証拠はありますか？

— gphilip

2

しかし、これは古典的なCWの質問だと思います。

— スレシュヴェンカト

@gphilip複雑性理論一般の下限証明について話している。

— シヴァキンタリ

@Sureshこれらの地域にプルーフを配置することは非常に重要です。回答を投稿する人々は、これらの障壁についての知識と理解について（もちろん賛成票によって）報われるべきです。どう思いますか？

— シヴァキンタリ

以下のSureshの答えを読んだ後、私は質問を得たと思います（間違っている場合は私を修正してください）：あなたは「P 対 NP を解決する証明にプロパティXがある場合、画像。" Sureshの答えでは、Xは「インタラクティブ」であり、YはRの外側、おそらくNの外側にもあります。

— gphilip

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ベン図を再描画する必要があると思います...少なくともAaronsonとWigdersonの意味では、相対化する複雑度クラスの包含も代数化されます。つまり、オラクルの「低度拡張」へのアクセスは、オラクルへのアクセスよりも強力です。同様に、分離には「非代数化」手法が必要であることを示すオラクルは、「非相対化」手法も必要であることを意味します。

— ライアン・ウィリアムズ
ソース

こんにちはライアン、図をシンプルにして、これらの地域の「崩壊」についても議論できるようにしました。たとえば、あなたの答えは「アーロンソン-ウィグダーソンの意味で」と言い換えることができます。

R \subseteq A

$R \subseteq A$

— シヴァキンタリ

4

ライアンの言うことは封じ込めのためだけに保持されます。P = NPのような結果は、P = PHが相対化することを意味しますが、代数化しません。

— ランスフォートノウ

@ランス：明確にしてくれてありがとう。したがって、ダイアグラムをそのままにしておくのは理にかなっています。

— シヴァキンタリ

3

私は今これを見ました...実際、スコットとアヴィはいくつかの「代数化」の意味も与えます。彼らの概念は確かに、相対化を包含するような方法で定義されています。（ランスが引用している意味合いのために、彼らはおそらくalgebrizing意味合い」であると言うでしょう意味。 "）

P^{\tilde{A}} = N P^{\tilde{A}}

$P^{\tilde{A}} = NP^{\tilde{A}}$

P H^{A} \subseteq P^{\tilde{A}}

$PH^{A} \subseteq P^{\tilde{A}}$

— ライアンウィリアムズ

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このスレッドの初期のいくつかの主張とは反対に、アーロンソンとウィグダーソンの意味での代数化は相対化を包含することは知られていない。例えば、

\begin{matrix} (†) & (\exists C : C \subset N E X P \land C ⊄ P / p o l y) ⟹ N E X P ⊄ P / p o l y \end{matrix}

$\tag{$\dagger$}(\exists \mathcal{C}: \mathcal{C} \subset \mathsf{NEXP} \wedge \mathcal{C} \not \subset \mathsf{P/poly})\implies \mathsf{NEXP} \not\subset \mathsf{P/poly}$

相対化するステートメントです。（実際、それは読者にとって意味のある相対論的証拠を持っています。）しかし、アーロンソンとウィグダーソン自身が彼らの論文[1]のセクション10.1で示唆したように、代数化することは知られていません。（その結果、AWは上記の図ではは外側になければならないことを教えていますが、と考えられは内部にあります！） $\mathsf{NEXP} \not\subset \mathsf{P/poly}$ $\mathrm {A}$ $\exists \mathcal{C}: \mathcal{C} \subset \mathsf{NEXP} \wedge \mathcal{C} \not \subset \mathsf{P/poly}$

しかし、エリックバッハと私[2]による最近の研究は、相対化を包含する代数化の定式化を与えています。基本的に、代数オラクルのAWの概念一部の言語として示されている---を賢明に変更すると、上記のなどの病理を排除できます。 $\tilde O$ $O$ $(\dagger)$

要するに、代数化は、適切に定義された場合、代数オラクルに関する相対化である---すべてのオラクルが「ウィグル」を取得する代数相対化---つまり、は上の図の空のセットなので、です。 $\mathrm{R} \setminus \mathrm{A}$ $\mathrm{RN}$

[1] http://www.scottaaronson.com/papers/alg.pdf
[2] http://eccc.hpi-web.de/report/2016/040/

PS：インパグリアッツォ、カバネッツ、コロコロバによって、代数化のための別の定式化が提案されました。これはを内に配置しますが、AWの概念ほど強力ではありません。比較のためにエリックと私の論文を参照してください。 $\mathrm{R}$ $\mathrm{A}$

— バルシュ・アイドゥンルール
ソース

ありがとう、バリス。誰かが最終的に代数化の概念を見つけてくれてうれしいです。それは、私たちが考えるべきことを正式にやってくれます:)

— ライアンウィリアムズ

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時間と空間の階層定理を相対化。それらは均一なので、帰化するようには見えません。

Lance FortnowなどのTimeSpaceの下限のような間接的な対角化の結果だと思います。また、Ryan Williamsの結果はブラックボックスではないため相対化されません（ただし、これについてはわかりません）。証明は階層定理を使用しているため、帰化しないようです。

一様なないパーマネント $TC^0$ の証明は、階層定理を使用しており、一様でない場合には機能しないようで、帰化しないようです。一方、相対化するかどうかはわかりません。相対化の適切な概念があります。

— カベ
ソース

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インタラクティブな証明は相対化しません。彼らは均一なので帰化するとは思わない。

— スレシュ・ベンカット
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