2つの密度行列の差のトレースノルムは、これら2つの密度行列が同時に対角化できることを意味しますか？

この質問に対する答えはよく知られていると思います。しかし、残念ながら、私は知りません。

量子コンピューティングでは、混合状態は密度行列で表されることがわかっています。そして、2つの密度行列の差のトレースノルムは、2つの対応する混合状態の識別可能性を特徴づけます。ここで、トレースノルムの定義は、密度行列のすべての固有値の合計に、余分な乗法係数1/2を加えたものです（2つの分布の統計的差異による）。2つの密度行列の差が1である場合、対応する2つの混合状態は完全に区別可能であり、差がゼロの場合、2つの混合状態は完全に区別できないことがよく知られています。

私の質問は、2つの密度行列の差のトレースノルムが1であることは、これら2つの密度行列が同時に対角化可能であることを意味しますか？この場合、最適な測定を行ってこれら2つの混合状態を区別することは、互いに素なサポートを持つ同じドメイン上の2つの分布を区別するように動作します。

興味のある事実を証明する1つの方法を次に示します。

$\rho_0$$\rho_1$$\rho_0-\rho_1$

$$\rho_0-\rho_1 = P_0-P_1$$ $P_0$$P_1$$\rho_0-\rho_1$$P_0$$P_1$

$\rho_0-\rho_1$

$$\|\rho_0-\rho_1\|_{\text{tr}} = \frac{1}{2}\operatorname{Tr}(P_0) + \frac{1}{2}\operatorname{Tr}(P_1).$$ $P_0=\rho_0$$P_1=\rho_1$

この結論を引き出すために、音符は、最初にそのとので、。次に、およびをそれぞれおよび画像への正射影にします。我々はので両方および$\operatorname{Tr}(P_0)-\operatorname{Tr}(P_1)=0$$\operatorname{Tr}(P_0)+\operatorname{Tr}(P_1)=2$$\operatorname{Tr}(P_0)=\operatorname{Tr}(P_1)=1$$\Pi_0$$\Pi_1$$P_0$$P_1$

$$\Pi_0 (\rho_0 - \rho_1) = \Pi_0 (P_0 - P_1) = P_0$$ $$\operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_0) - \operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_1) = 1.$$ $\operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_0)$$\operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_1)$間隔[0,1]に含まれている必要があり、そこからおよび。これらの方程式から、およびを結論付けることは難しくありません。したがって、上記の方程式でことができます。同様の引数は示しています。$\operatorname{Tr}(\Pi_0\rho_0)=1$$\operatorname{Tr}(\Pi_0\rho_1) = 0$$\Pi_0\rho_0=\rho_0$$\Pi_0\rho_1=0$$P_0=\rho_0$$P_1=\rho_1$

はい。2つの密度行列のトレース距離が1に等しい場合、それらは直交サポートを持っているため、同時に対角化可能です。