属問題の近似可能性

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属の問題の近似性について現在知られていることは何ですか？予備的な検索では、一定の係数の近似が十分に密なグラフの自明であり、ことを私に告げる -approximationアルゴリズムが除外されています。この情報は最新ですか、それともより良い境界が知られていますか？ $n^\epsilon$

cc.complexity-theory approximation-hardness topological-graph-theory

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最も優れた結果は、1997年の Jianer Chen、Saroja P. Kanchi、およびArkady Kanevskyによる論文に掲載されています。

任意の固定のための、とグラフの属計算添加エラー NP困難です。 $\varepsilon>0$ $O(n^\varepsilon)$
（未知の）属頂点グラフを属方向付け可能な表面に埋め込む簡単な線形時間アルゴリズムがあります：各頂点を離れるエッジに任意の巡回順序を割り当てます（ループと平行なエッジを一緒に保つ）。言い換えると、属が大きい場合、すべての埋め込みは最適な埋め込みの適切な近似になります。 $n$ $g$ $\max\{4g, g+4n\}$
多項式時間-有界度グラフの近似アルゴリズム。 $O(\sqrt{n})$

効率的な定数係数近似アルゴリズムがあるかどうかは未解決の問題です。

— ジェフス
ソース

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私はで属を計算すること[陳、Kanchi、Kanevsky '97]から、以下の方法を理解していない乗法の近似

NP困難です。例えば、添加剤近似とMAX CUTを計算

もNP困難であるが、Goemansとウィリアムソンのアルゴリズムは0.878 ...近似を与えます。

O (n^{ε})

$O(n^{\varepsilon})$

O (n^{ε})

$O(n^{\varepsilon})$

— ユーリー

はい、あなたが正しい。私はあなたの答えに照らして答えを更新しました。

— ジェフ

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私の知る限りでは、この問題の近似係数に下限はないというJɛﬀ Eの包括的な答えに加えたいと思いました。私たちが知る限り、（定数が非常に小さい場合でも）常に一定の因子近似を与える近似アルゴリズムがあります。

$O(n^{1-\varepsilon})$ $G$ $\mathrm{genus}(G) \leq g^*$ $\mathrm{genus}(G) \geq g^*+1$ $g^*$ $n$ $G$ $k$ $N = n^k$ $G$ $G'$ $\mathrm{genus}(G') \leq N g^*$ $\mathrm{genus}(G') \geq N(g^*+1)$ $\mathrm{genus}(G')$ $N = (Nn)^{k/{k+1}} = |V(G')|^{k/{k+1}} = |V(G')|^{1-\varepsilon}$ $\varepsilon = 1/(k+1)$ $N(g^*+1)$ $Ng^*$ $g^*+1$ $g^*$

— ユリー
ソース